《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点一 复数的概念
例1 (1)(2025·广州调研)复数$z$满足$(1 + i)z = i$，$i$为虚数单位，则下列说法正确的是(C)

A.$|z| = 1$
B.$z$在复平面内对应的点位于第二象限
C.$z$的实部为$\frac{1}{2}$
D.$z$的虚部为$\frac{1}{2}i$

答案：
(1)C [
(1)
∵(1+i)z=i,
∴$z=\frac{i}{1 + i}=\frac{i\cdot (1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i,$则|z|$=\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$故A错误;z在复平面内对应的点的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),$位于第一象限,故B错误;z的实部为$\frac{1}{2},$故C正确;z的虚部为$\frac{1}{2},$故D错误.]

(2)(2025·宜春质检)如果复数$z = m^{2} + m - 2 - (m - 1)i$是纯虚数，$m∈R$，$i$是虚数单位，则(C)

A.$m\neq 1$且$m\neq - 2$
B.$m = 1$
C.$m = - 2$
D.$m = 1$或$m = - 2$

答案：
(2)C [
(2)由复数$z=m^{2}+m-2-(m-1)i$是纯虚数,得$\begin{cases}m^{2}+m-2=0,\\m-1≠0,\end{cases}$解得m=-2.]

(1)(多选)(2025·漳州模拟)若$(1 + i)a + bi = 4i$，$a$，$b∈R$，则(BCD)

A.$a = 1$
B.$b = 4$
C.$a - b = - 4$
D.$ab = 0$

答案：
(1)BCD [
(1)由题意可得,(1+i)a+bi=a+(a+b)i=4i,则$\begin{cases}a=0,\\a+b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=0,\\b=4,\end{cases}$可得a-b=-4,ab=0,故B,C,D正确,A错误.]

(2)已知复数$z$满足$|z| = |z - 1| = 1$，且复数$z$对应的点在第一象限，则下列结论正确的是(D)

A.复数$z$的虚部为$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
C.$z^{2} = z + 1$
D.复数$z$的共轭复数为$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

答案：
(2)D [
(2)设复数z=a+bi(a,b∈R),因为|z|=|z-1|=1,且复数z对应的点在第一象限,所以$\begin{cases}(a^{2}+b^{2}=1,\a - 1)^{2}+b^{2}=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=\frac{\sqrt{3}}{2},\end{cases}$即$z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i.$对于A,复数z的虚部为$\frac{\sqrt{3}}{2},$故A错误;对于$B,z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,$故B错误;对于C,因为$z^{2}=(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{2}=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i≠z+1,$故C错误;对于D,复数z的共轭复数为$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,$故D正确.]

考点二 复数的四则运算
例2 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)若$\frac{z}{z - 1} = 1 + i$，则$z =$(C)

A.$-1 - i$
B.$-1 + i$
C.$1 - i$
D.$1 + i$

答案：
(1)C [
(1)因为$\frac{z}{z - 1}=1+i,$所以$\frac{z - 1}{z}=\frac{1}{1 + i},$即$1-\frac{1}{z}=\frac{1 - i}{2},$即$\frac{1}{z}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=\frac{1 + i}{2},$所以$z=\frac{2}{1 + i}=1-i,$故选C.]

(2)(2025·郑州模拟)若$z = \frac{i^{2026} + 2}{1 - i}$，则$|z| =$(A)

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{2}$

答案： $(2)A [(2)z=\frac{i^{2026}+2}{1 - i}=\frac{1×506 + 2 + 2}{1 - i}=\frac{510}{1 - i}=\frac{510(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}=\frac{510(1 + i)}{2}=255 + 255i,$|z|$=\sqrt{(\frac{510}{2})^{2}+(\frac{510}{2})^{2}}=\frac{510\sqrt{2}}{2}=255\sqrt{2}.]$

(1)(2025·武汉调研)复数$\frac{1 + \sqrt{3}i}{\sqrt{3} + i^{3}} =$(B)

A.$-i$
B.$i$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2} - i$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2} + i$

答案：
(1)B [
(1)复数$\frac{1+\sqrt{3}i}{\sqrt{3}+i^{3}}=\frac{(1+\sqrt{3}i)(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}=i.]$

(2)(多选)(2025·湖南名校联考)已知复数$z_{1}$，$z_{2}$满足$3z_{1} + z_{2} = -1 - 2i$，$z_{1} + 3z_{2} = 5 + 2i$，则(ABD)

A.$z_{1} = -1 - i$
B.$z_{2} = 2 + i$
C.$z_{1} - z_{2} = -3 + 2i$
D.$\frac{z_{1}}{z_{2}}$$= \frac{-3 - i}{5}$

答案：
(2)ABD [
(2)
∵$3z_{1}+z_{2}=-1-2i,z_{1}+3z_{2}=5+2i,$
∴$z_{1}=-1-i,z_{2}=2+i,$
∴$z_{1}-z_{2}=-3-2i,\frac{z_{1}-z_{2}}{z_{2}}=\frac{-1 - i-(1 + i)(2 - i)}{2 + i}=\frac{-3 - i}{2 + i}=\frac{(-3 - i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)}=\frac{-5 - 5i}{5}.]$