《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点一 作函数的图象
例1 作出下列函数的图象：
（1）$y = (\frac{1}{2})^{|x|}$；
（2）$y = |\log_{2}(x + 1)|$；
（3）$y = x^{2}-2|x|-1$。

答案：
例1解　
(1)先作出y=$(\frac{1}{2})^x$的图象，保留y=$(\frac{1}{2})^x$图象中x≥0的部分，
再作出y=$(\frac{1}{2})^x$的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，
即得y=$(\frac{1}{2})^{|x|}$的图象，如图①实线部分。

(2)将函数y=log₂x的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log₂(x + 1)|的图象，如图②。
(3)y = $\begin{cases} x^2−2x−1, & x≥0 \\ x^2 + 2x−1, & x＜0 \end{cases}$且函数为偶函数，先用描点法作出[0,+∞)上的图象，
再根据对称性作出(−∞,0)上的图象，
得图象如图③。

训练1 分别作出下列函数的图象：
（1）$y = \sin|x|$；
（2）$y=\frac{2x - 1}{x - 1}$。

答案：
训练1解　
(1)当x≥0时，y=sin|x|与y=sinx的图象完全相同，
又y=sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图①。

(2)y=$\frac{2x−1}{x−1}$=2+$\frac{1}{x−1}$，
故函数的图象可由y=$\frac{1}{x}$的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位得到，如图②所示。

考点二 函数图象的识别
例2 (1)(2024·全国甲卷)函数$f(x)=-x^{2}+(e^{x}-e^{-x})\sin x$在区间$[-2.8,2.8]$的图象大致为(B)

答案： 例2
(1)B[
(1)由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
f(−x)=−(−x)²+(e⁻ˣ−eˣ)sin(−x)=−x²+(eˣ−e⁻ˣ)sinx=f(x)，
所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，C；
f
(1)=−1+(e⁻¹−$\frac{1}{e}$)sin1＞−1+(e⁻¹−$\frac{1}{e}$)sin$\frac{π}{6}$=−1+$\frac{e}{2}$−$\frac{1}{2e}$＞0，排除D。

(2)(2025·长沙模拟)
已知函数$f(x)$的部分图象如图所示，则函数$f(x)$的解析式可能为(A)


A.$f(x)=-\frac{2x^{2}}{|x|-1}$
B.$f(x)=-\frac{2x^{2}}{|x|+1}$
C.$f(x)=-\frac{2x}{|x|-1}$
D.$f(x)=-\frac{2|x|}{x^{2}-1}$

答案： 例2
(2)A[
(2)由题图可知，函数f(x)为偶函数，
且定义域不是全体实数，故排除B，C。
D中，当x＞1时，
f(x)=$\frac{2x}{x^2−1}$，f'(x)=$\frac{2x^2 + 2}{(x^2−1)^2}$＞0，
则f(x)在(1,+∞)上单调递增，故排除D。]