《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 椭圆的定义
(1)平面内与两个定点 $ F_1,F_2 $ 的距离的和等于常数(大于 $ |F_1F_2| $)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.
(2)其数学表达式:集合 $ P = \{ M | |MF_1| + |MF_2| = 2a \}, |F_1F_2| = 2c $,其中 $ a ＞ 0,c ＞ 0 $,且 $ a,c $ 为常数:
①若$a＞c$,则集合 $ P $ 为椭圆;
②若$a = c$,则集合 $ P $ 为线段;
③若$a＜c$,则集合 $ P $ 为空集.

答案： 1.
(1)椭圆 焦点 焦距
(2)①$a＞c$ ②$a = c$ ③$a＜c$

2. 椭圆的标准方程和几何性质

答案： 2.$2a$ $2b$ $2c$ $(0,1)$ $a^{2}-b^{2}$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点 $ F_1,F_2 $ 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. (×)
(2)椭圆的离心率 $ e $ 越大,椭圆就越圆. (×)
(3)方程 $ mx^2 + ny^2 = 1(m ＞ 0,n ＞ 0,m \neq n) $ 表示的曲线是椭圆. (√)
(4)$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ b ＞ 0) $ 与 $ \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1(a ＞ b ＞ 0) $ 的焦距相同. (√)

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)√
(4)√ [
(1)由椭圆的定义知，当该常数大于$\vert F_{1}F_{2}\vert$时，其轨迹才是椭圆，而常数等于$\vert F_{1}F_{2}\vert$时，其轨迹为线段$F_{1}F_{2}$，常数小于$\vert F_{1}F_{2}\vert$时，不存在这样的图形.
(2)因为$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a} = \sqrt{1 - (\frac{b}{a})^{2}}$，所以$e$越大，则$\frac{b}{a}$越小，椭圆就越扁.]

2. (人教 A 选修一 P109T1 原题)如果椭圆 $ \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{36} = 1 $ 上一点 $ P $ 与焦点 $ F_1 $ 的距离等于 6,那么点 $ P $ 与另一个焦点 $ F_2 $ 的距离是14.

答案： 2.14 [根据椭圆的定义得$\vert PF_{1}\vert + \vert PF_{2}\vert = 2a$，又$a^{2} = 100$，即$a = 10$，所以$6 + \vert PF_{2}\vert = 20$，故$\vert PF_{2}\vert = 14$.]

3. (湘教选修一 P126T3 改编)若直线 $ l:x - 2y + 2 = 0 $ 过椭圆的左焦点 $ F_1 $ 和一个顶点 $ B $,则该椭圆的离心率为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

答案： 3.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ [$x = 0$时，$y = 1$，即$b = 1$；$y = 0$时，$x = -2$，即$c = 2$，故$a = \sqrt{b^{2}+c^{2}} = \sqrt{1^{2}+2^{2}} = \sqrt{5}$，故$e = \frac{c}{a} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.]

4. (北师大选修一 P57T2 改编)与椭圆 $ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 $ 的焦点相同,且经过点 $ \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $ 的椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{2}+y^{2} = 1$.

答案： 4.$\frac{x^{2}}{2}+y^{2} = 1$ [由题设，椭圆焦点为$(\pm1,0)$，则$c = 1$，令椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-1} = 1$且$a^{2}＞1$，又$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$在椭圆上，则$\frac{1}{2a^{2}}+\frac{3}{4(a^{2}-1)} = 1$，整理得$4a^{4}-9a^{2}+2 = (4a^{2}-1)(a^{2}-2) = 0$，解得$a^{2} = 2$或$a^{2} = \frac{1}{4}$(舍去)，所以椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{2}+y^{2} = 1$.]