《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 正、余弦定理
在$\triangle ABC$中,若内角$A$,$B$,$C$所对的边分别是$a$,$b$,$c$,$R$为$\triangle ABC$外接圆半径,则

答案： 1.$b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ $c^{2}+a^{2}-2ca\cos B$ $\frac{a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}{2ac}$ $\frac{b}{\sin B}$ $\frac{c}{\sin C}$ $\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ $c^{2}+a^{2}-b^{2}$ $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ $\frac{2R\sin B}{2R\sin C}$ $\frac{b}{2R}$ $\frac{\sin A}{\sin B}$ $\frac{\sin C}{\sin C}$

2. 在$\triangle ABC$中,已知$a$,$b$和$A$时,解的情况如下:

答案： 2.一解 两解 一解 一解 无解

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比. (×)
(2)在$\triangle ABC$中,若$\sin A ＞ \sin B$,则$A ＞ B$. (√)
(3)在$\triangle ABC$的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素. (×)
(4)当$b^{2}+c^{2}-a^{2}＞0$时,$\triangle ABC$为锐角三角形;当$b^{2}+c^{2}-a^{2}=0$时,$\triangle ABC$为直角三角形;当$b^{2}+c^{2}-a^{2}＜0$时,$\triangle ABC$为钝角三角形. (×)

答案： 1.
(1)×
(2)√
(3)×
(4)× [
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比。
(3)已知三角时，不可求三边。
(4)当$b^{2}+c^{2}-a^{2}＞0$时,$\triangle ABC$不一定为锐角三角形,仅确定$A$为锐角.]

2. (人教A必修二P48T2(2)改编)在$\triangle ABC$中,已知$b = 2$,$A = 45^{\circ}$,$C = 75^{\circ}$,则边$c=$$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}$.

答案： 2.$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}$ [$B = 180^{\circ}-45^{\circ}-75^{\circ}=60^{\circ}$,由正弦定理,得$\frac{2}{\sin60^{\circ}}=\frac{c}{\sin75^{\circ}}$,得$c=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}$.]

3. (苏教必修二P93练习T1(3)改编)在$\triangle ABC$中,$AB = 5$,$AC = 3$,$BC = 7$,则$\angle BAC$等于$\frac{2\pi}{3}$.

答案： 3.$\frac{2\pi}{3}$ [在$\triangle ABC$中,$AB = 5$,$AC = 3$,$BC = 7$,由余弦定理的推论得$\cos\angle BAC=\frac{AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}}{2AC\cdot AB}=\frac{9 + 25 - 49}{30}=-\frac{1}{2}$,因为$\angle BAC$为$\triangle ABC$的内角,所以$\angle BAC=\frac{2\pi}{3}$.]

4. (人教B必修四P5例3改编)已知$\triangle ABC$中,$b = 3\sqrt{6}$,$c = 6$,$B = 120^{\circ}$,则$\triangle ABC$的面积为$\frac{27 - 9\sqrt{3}}{2}$.

答案： 4.$\frac{27 - 9\sqrt{3}}{2}$ [由正弦定理,得$\sin C=\frac{c\sin B}{b}=\frac{6×\frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.由于$b＞c$,故$B＞C$,所以$C = 45^{\circ}$,所以$A=180^{\circ}-120^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}$,$\sin15^{\circ}=\sin(60^{\circ}-45^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$所以$\triangle ABC$的面积为$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}×3\sqrt{6}×6×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\frac{27 - 9\sqrt{3}}{2}$.]