《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 函数的单调性
(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义
如果函数$y = f(x)$在区间$D$上单调递增或单调递减，那么就说函数$y = f(x)$在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做$y = f(x)$的单调区间。

答案： 1.
(2)单调递增　单调递减　区间D

2. 函数的最值

答案： 2.$f(x)\leq M$ $f(x_0)=M$ $f(x)\geq M$ $f(x_0)=M$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于函数$y = f(x)$，若$f(1)＜f(3)$，则$f(x)$为增函数。 (×)
(2)函数$y = f(x)$在$[1,+\infty)$上是增函数，则函数的单调递增区间是$[1,+\infty)$。 (×)
(3)函数$y=\frac{1}{x}$的单调递减区间是$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。 (×)
(4)对于函数$f(x)$，$x\in D$，若对任意$x_{1},x_{2}\in D$，且$x_{1}\neq x_{2}$有$(x_{1}-x_{2})[f(x_{1})-f(x_{2})]＞0$，则函数$f(x)$在区间$D$上是增函数。 (√)

答案： 1.
(1)×　
(2)×　
(3)×　
(4)√　[
(1)错误，应对任意的$x_1＜x_2$，都有$f(x_1)＜f(x_2)$成立才可以.
(2)错误，反例:$f(x)=x$在$[1,+\infty)$上为增函数，但$f(x)=x$的单调递增区间是$(-\infty,+\infty)$.
(3)错误，此单调区间不能用“$\cup$”连接，故单调递减区间为$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$.]

2. (人教A必修一P86T7改编)函数$f(x)=\sqrt{x^{2}-2x}$的单调递增区间是[2,+\infty)。

答案： 2.$[2,+\infty)$　[由题意可知$x^2 - 2x\geq0$，解得$x\leq0$或$x\geq2$，所以函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,0]\cup[2,+\infty)$.设$y=\sqrt{u}$，$u=x^2 - 2x$，二次函数$u=x^2 - 2x$的单调递增区间是$(1,+\infty)$，单调递减区间是$(-\infty,1)$，所以$f(x)$的单调递增区间是$[2,+\infty)$.

3. (人教B必修一P140T2(1)改编)函数$f(x)=\frac{4}{x^{2}}(x\in[-2,-1])$，则$f(x)$的最小值为1，最大值为4。

答案： 3.1　4[由于$f(x)=\frac{4}{x^2}$在[-2,-1]上单调递增，故f(x)的最大值为f(-1)=4，最小值为f(-2)=1.]

4. (苏教必修一P122T4改编)函数$y = f(x)$是定义在$[-2,2]$上的减函数，且$f(a + 1)＜f(2a)$，则实数$a$的取值范围是[-1,1)。

答案： 4.[-1,1)　[由条件知$\begin{cases}-2\leq a + 1\leq2\\-2\leq 2a\leq2\\a + 1＞2a\end{cases}，$解得$-1\leq a＜1.]$