《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

角度2 常数代换法
例2 (2025·安徽A10联盟质检)已知$m$，$n \in (0, +\infty)$，$\frac{1}{m} + n = 4$，则$m + \frac{9}{n}$的最小值为(B)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： $B [\forall m,n\in(0,+\infty)，$$m+\frac{9}{n}=\frac{1}{4}(m+\frac{9}{n})(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})=\frac{1}{4}(10+\frac{9m}{n}+\frac{n}{m})≥\frac{1}{4}(10 + 2\sqrt{\frac{9m}{n}\cdot\frac{n}{m}})=4，$当且仅当$\frac{9m}{n}=\frac{n}{m}，$且$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=4，$即m=1,n=3时等号成立，则$m+\frac{9}{n}$的最小值为4.]

角度3 消元法
例3 已知正数$a$，$b$满足$a^2 - 2ab + 4 = 0$，则$b - \frac{a}{4}$的最小值为(B)

A.1
B.$\sqrt{2}$
C.2
D.$2\sqrt{2}$

答案： B [
∵$a＞0,b＞0,a^{2}-2ab + 4=0，$则$b=\frac{a}{2}+\frac{2}{a}，$
∴$b-\frac{a}{4}=\frac{a}{2}+\frac{2}{a}-\frac{a}{4}=\frac{a}{4}+\frac{2}{a}≥2\sqrt{\frac{a}{4}\cdot\frac{2}{a}}=\sqrt{2}，$当且仅当$\frac{a}{4}=\frac{2}{a}，$即$a=2\sqrt{2}$时，等号成立，此时$b=\frac{3\sqrt{2}}{2}.]$

(1)(2025·金华调考)若$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，且$a + 2b = ab$，则$2a + b$的最小值为(B)

A.6
B.9
C.4
D.8

答案：
(1)B [法一 由a + 2b=ab得$b=\frac{a}{a - 2}，$因为a＞0,b＞0，所以$2a + b=2a+\frac{a}{a - 2}=2(a - 2)+\frac{2}{a - 2}+5≥2\sqrt{2(a - 2)\cdot\frac{2}{a - 2}}+5=9，$当且仅当$a - 2=\frac{1}{a - 2}，$即a=3时，等号成立.法二 因为a＞0,b＞0，且a + 2b=ab，所以$\frac{a + 2b}{ab}=\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1，$因为$2a + b=(2a + b)(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})=5+\frac{2b}{a}+\frac{2a}{b}≥5 + 2\sqrt{\frac{2b}{a}\cdot\frac{2a}{b}}=9，$当且仅当$\frac{2b}{a}=\frac{2a}{b}，$即a=b=3时，等号成立，所以2a + b的最小值为9.故选B.]

(2)已知$x ＜ 2$，则$\frac{4}{x - 2} + x$的最大值是______。

答案：
(2)-2 [由x＜2知2 - x＞0，则$\frac{4}{x - 2}+x=-(\frac{4}{2 - x}+2 - x)+2≤ - 2\sqrt{\frac{4}{2 - x}\cdot(2 - x)}+2=-2，$当且仅当$\frac{4}{2 - x}=2 - x，$即x=0时等号成立.]

考点二 利用基本不等式求参数的值或范围
例4 若对于任意的$x ＞ 0$，不等式$\frac{x^2 + 3x + 1}{x} \geq a$恒成立，则实数$a$的取值范围为(C)

A.$[5, +\infty)$
B.$(5, +\infty)$
C.$(-\infty, 5]$
D.$(-\infty, 5)$

答案： C [令$f(x)=\frac{x^{2}+3x + 1}{x}$由题意可得$a≤f(x)_{\min}，$$f(x)=x+\frac{1}{x}+3≥2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}+3=5，$当且仅当$x=\frac{1}{x}，$即x=1时等号成立，$a≤f(x)_{\min}=5，$所以实数a的取值范围为$(-\infty,5].]$

(1)设$a ＞ 0$，若关于$x$的不等式$x + \frac{a}{x} \geq 6$对$x \in (0, +\infty)$恒成立，则$a$的最小值是(C)

A.1
B.4
C.9
D.16

答案：
(1)C [因为x＞0，由$x+\frac{a}{x}≥2\sqrt{x\cdot\frac{a}{x}}=2\sqrt{a}，$当且仅当$x=\frac{a}{x}，$即$x=\sqrt{a}$时取等号，则$2\sqrt{a}≥6，$可得a≥9.]

(2)已知$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，且$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$，若$2x + y ＜ m^2 - 8m$有解，则实数$m$的取值范围为(A)

A.$(-\infty, -1) \cup (9, +\infty)$
B.$(-\infty, -1] \cup [9, +\infty)$
C.$(-9, -1)$
D.$[-9, 1]$

答案：
(2)A [因为x＞0,y＞0，且$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1，$所以$2x + y=(2x + y)(\frac{2}{x}+\frac{1}{y})=5+\frac{2y}{x}+\frac{2x}{y}≥5 + 2\sqrt{\frac{2y}{x}\cdot\frac{2x}{y}}=9，$当且仅当$\frac{2y}{x}=\frac{2x}{y}，$且$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1，$即x=y=3时取等号，此时2x + y取得最小值9，若9＜m^{2}-8m，解得m＞9或m＜-1，即实数m的取值范围为$(-\infty,-1)\cup(9,+\infty).]$