《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

训练1 (1)$f(x)$为定义在$\mathbf{R}$上的可导函数，且$f'(x)＞f(x)$，对任意正实数$a$，下列式子一定成立的是(B)
A.$f(a)＜e^af(0)$
B.$f(a)＞e^af(0)$
C.$f(a)＜\frac{f(0)}{e^a}$
D.$f(a)＞\frac{f(0)}{e^a}$

答案：
(1)B [
(1)令 $g(x) = \frac{f(x)}{e^x}$，则 $g'(x) = \frac{f'(x) - f(x)}{e^x} ＞ 0$。$\therefore g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上为增函数，又 $a ＞ 0$，$\therefore g(a) ＞ g(0)$，即 $\frac{f(a)}{e^a} ＞ \frac{f(0)}{e^0}$，故 $f(a) ＞ e^a f(0)$。

(2)已知函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，其导函数为$f'(x)$，若$xf'(x)-1＜0$，$f(e)=2$，则关于$x$的不等式$f(e^x)＜x + 1$的解集为(1, +∞)。

答案：
(2)$(1, +\infty)$ [
(2)设 $F(x) = f(x) - \ln x - 1$，则 $F'(x) = f'(x) - \frac{1}{x} = \frac{xf'(x) - 1}{x} ＜ 0$，$\therefore F(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减，又 $F(e) = 0$，$F(e^2) = f(e^2) - \ln e^2 - 1$$= f(e^2) - x - 1 - 1 = F(e)$，$\therefore e^2 ＞ e$，得 $x ＞ 1$。$\therefore$ 关于 $x$ 的不等式 $f(e^x) ＜ x + 1$ 的解集为 $(1, +\infty)$。

(3)(2025·杭州调研)已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$的导函数为$f'(x)$，对任意$x\in(0,\pi)$，有$f'(x)\sin x＞f(x)\cos x$，设$a = 2f(\frac{\pi}{6})$，$b=\sqrt{2}f(\frac{\pi}{4})$，$c = f(\frac{\pi}{2})$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为a ＜ b ＜ c。

答案：
(3)$a ＜ b ＜ c$ [
(3)构造函数 $F(x) = \frac{f(x)}{\sin x}, x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$，则 $x \in (0, \pi)$ 时，$F'(x) = \frac{f'(x)\sin x - f(x)\cos x}{\sin^2 x} ＞ 0$。所以函数 $F(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上单调递增，于是 $F(\frac{\pi}{6}) ＜ F(\frac{\pi}{4}) ＜ F(\frac{\pi}{2})$，即 $2f(\frac{\pi}{6}) ＜ \sqrt{2}f(\frac{\pi}{4}) ＜ f(\frac{\pi}{2})$，所以 $a ＜ b ＜ c$]

例4 若实数$a$，$b$，$c\in[0,1]$，且满足$ae = e^a$，$be^{1.2}=1.2e^b$，$ce^{1.6}=1.6e^c$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是(C)

A.$c＞b＞a$
B.$b＞a＞c$
C.$a＞b＞c$
D.$b＞c＞a$

答案： 例4C [由 $ae = e^a$，$be^{1.2} = 1.2e^b$，$ce^{1.6} = 1.6e^c$，得 $\frac{a}{e^a} = \frac{1}{e}$，$\frac{b}{e^b} = \frac{1.2}{e^{1.2}}$，$\frac{c}{e^c} = \frac{1.6}{e^{1.6}}$。令 $f(x) = \frac{x}{e^x}$，则 $f'(x) = \frac{1 - x}{e^x}$，当 $x ＜ 1$ 时，$f'(x) ＞ 0$，当 $x ＞ 1$ 时，$f'(x) ＜ 0$，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, 1)$ 上单调递增，在 $(1, +\infty)$ 上单调递减，于是 $f(1) ＞ f(1.2) ＞ f(1.6)$，即 $f(a) ＞ f(b) ＞ f(c)$，又 $a, b, c \in [0, 1]$，所以 $a ＞ b ＞ c$。]

训练2 (多选)(2025·江西名校联考)已知$x$，$y\in\mathbf{R}$，若$2(e^{2y}-e^x)=(y - x)(y + x + 2)$，则下列关系式能成立的是(BCD)
A.$y＞x＞0$
B.$x＞y＞0$
C.$x＜y＜0$
D.$x = y = 0$

答案： 训练2BCD [当 $x = y = 0$ 时，等式成立，故D成立。若 $2(e^{2y} - e^x) = (y - x)(y + x + 2)$，则 $e^{2y} - \frac{y^2}{2} - y = e^x - \frac{x^2}{2} - x$。设 $f(x) = e^x - \frac{x^2}{2} - x$，则 $f'(x) = e^x - x - 1$，令 $g(x) = e^x - x - 1$，则 $g'(x) = e^x - 1$，当 $x ＜ 0$ 时，$g'(x) ＜ 0$；当 $x ＞ 0$ 时，$g'(x) ＞ 0$。所以 $g(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减，在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，所以 $g(x) \geq g(0) = 0$，即 $f'(x) \geq 0$ 恒成立，所以 $f(x)$ 单调递增。当 $y ＞ 0$ 时，$e^x - \frac{x^2}{2} - x = e^{2y} - \frac{y^2}{2} - y ＞ e^y - \frac{y^2}{2} - y$，即 $f(x) ＞ f(y)$，所以 $x ＞ y ＞ 0$，故B成立，A不成立。当 $y ＜ 0$ 时，$e^x - \frac{x^2}{2} - x = e^{2y} - \frac{y^2}{2} - y ＜ e^y - \frac{y^2}{2} - y$，即 $f(x) ＜ f(y)$，所以 $x ＜ y ＜ 0$，故C成立.]

例5 (2022·新高考Ⅰ卷)设$a = 0.1e^{0.1}$，$b=\frac{1}{9}$，$c = -\ln 0.9$，则(C)

A.$a＜b＜c$
B.$c＜b＜a$
C.$c＜a＜b$
D.$a＜c＜b$

答案： 例5C [法一 因为 $e^x \geq x + 1$，当且仅当 $x = 0$ 时，有 $e^x = x + 1$，所以当 $x = -0.1$ 时，$e^{-0.1} ＞ 1 - 0.1 = \frac{9}{10}$，于是 $e^{0.1} ＜ \frac{10}{9}$，$a = 0.1e^{0.1} ＜ \frac{1}{9} = b$。设函数 $f(x) = xe^x + \ln(1 - x)$，则 $f'(x) = (x + 1)e^x - \frac{1}{1 - x} = \frac{(1 - x^2)e^x - 1}{1 - x}$。当 $0 \leq x \leq 0.1$ 时，$(1 - x^2)e^x - 1 \geq (1 - x^2)(x + 1) - 1 = x(1 - x - x^2) \geq 0$，所以 $f'(x) \geq 0$，$f(x)$ 在 $[0, 0.1]$ 上单调递增，有 $f(0.1) ＞ f(0) = 0$，即 $0.1e^{0.1} + \ln 0.9 ＞ 0$，所以 $a ＞ c$。故 $c ＜ a ＜ b$。法二 使用三个放缩工具：
(1)$1 - \frac{1}{x} \leq \ln x \leq x - 1(x ＞ 0)$，当且仅当 $x = 1$ 时等号成立；
(2)$e^x \geq x + 1$，当且仅当 $x = 0$ 时等号成立；
(3)$\ln x \leq \frac{1}{2}(x - \frac{1}{x})(x \geq 1)$，当且仅当 $x = 1$ 时等号成立。因为 $0.1 = 1 - \frac{9}{10} ＜ \ln \frac{10}{9} = \ln 10 - \ln 9$$= \frac{1}{2}(\frac{10}{9} - \frac{9}{10}) = \frac{19}{180} ＜ 0.11$，故 $c ＜ a$。综上所述，$b ＞ a ＞ c$。]

训练3 实数$e^3$，$3^\pi$，$\pi^3$的大小关系为e^3 ＜ π^3 ＜ 3^π。

答案： 训练3 $e^3 ＜ π^3 ＜ 3^π$ [设 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$，则 $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$，当 $x ＞ e$ 时，$f'(x) ＜ 0$，所以 $f(x)$ 在 $(e, +\infty)$ 上单调递减，所以 $f(3) ＞ f(π)$，即 $\frac{\ln 3}{3} ＞ \frac{\ln π}{π}$，所以 $\pi\ln 3 ＞ 3\ln \pi$，所以 $\ln 3^\pi ＞ \ln \pi^3$，即 $3^\pi ＞ \pi^3$。因为 $y = x^3$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，$e ＜ \pi$，所以 $e^3 ＜ \pi^3$，所以 $e^3 ＜ \pi^3 ＜ 3^\pi$。]