《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点一 公式的基本应用
例 1 (1)(2024·新高考 I 卷)已知 $ \cos(\alpha + \beta) = m $，$ \tan \alpha \tan \beta = 2 $，则 $ \cos(\alpha - \beta) = $ (A)

A.$ -3m $
B.$ -\frac{m}{3} $
C.$ \frac{m}{3} $
D.$ 3m $

答案： 例1
(1)A[
(1)由$\cos(\alpha+\beta)=m$得$\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=m$,由$\tan\alpha\tan\beta=2$得$\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}=2$,由①②得$\begin{cases}\cos\alpha\cos\beta=-m,\\\sin\alpha\sin\beta=-2m,\end{cases}$所以$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=-3m$,故选A.]

(2)(2024·全国甲卷)已知 $ \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \sqrt{3} $，则 $ \tan(\alpha + \frac{\pi}{4}) = $ (B)

A.$ 2\sqrt{3} + 1 $
B.$ 2\sqrt{3} - 1 $
C.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $
D.$ 1 - \sqrt{3}$$$

答案： 例1
(2)B[
(2)根据题意有$\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,即$1-\tan\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$,所以$\tan\alpha=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$,所以$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{\tan\alpha+1}{1-\tan\alpha}=\frac{2-\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=2\sqrt{3}-1$,故选B.]

(1)(2025·石家庄质检)已知 $ \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{3} $，则 $ \cos(2\alpha + \frac{4\pi}{3}) $ 的值为 (B)

A.$ \frac{5}{9} $
B.$ -\frac{5}{9} $
C.$ \frac{1}{3} $
D.$ -\frac{1}{3} $

答案： 训练1
(1)B[
(1)$\cos(2\alpha+\frac{4\pi}{3})$$=\cos(2\alpha+\frac{\pi}{3}+\pi)$$=-\cos(2\alpha+\frac{\pi}{3})$$=2\sin^{2}(\alpha+\frac{\pi}{6})-1$$=\frac{5}{9}$.]

(2)计算：$ \frac{\cos 55° + \sin 25° \cos 60°}{\cos 25°} = $ (B)

A.$ -\frac{\sqrt{3}}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $
C.$ -\frac{1}{2} $
D.$ \frac{1}{2}$$$

答案： 训练1
(2)B[
(2)$\frac{\cos55^{\circ}+\sin25^{\circ}\cos60^{\circ}}{\cos25^{\circ}}$$=\frac{\cos(30^{\circ}+25^{\circ})+\frac{1}{2}\sin25^{\circ}}{\cos25^{\circ}}$$=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos25^{\circ}-\frac{1}{2}\sin25^{\circ}+\frac{1}{2}\sin25^{\circ}}{\cos25^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.]

考点二 公式的逆用及变形
例 2 (1)(多选)(2025·合肥质检)下列代数式的值为 $ \frac{1}{4} $ 的是 (BCD)

A.$ \cos^2 75° - \sin^2 75° $
B.$ \frac{\tan 15°}{1 + \tan^2 15°} $
C.$ \cos 36° \cos 72° $
D.$ 2\cos 20° \cos 40° \cos 80° $

答案： 例2
(1)BCD[
(1)对于A,$\cos^{2}75^{\circ}-\sin^{2}75^{\circ}=\cos150^{\circ}=\cos(180^{\circ}-30^{\circ})=-\cos30^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;对于B,$\frac{\tan15^{\circ}}{1+\tan^{2}15^{\circ}}=\frac{\frac{\sin15^{\circ}}{\cos15^{\circ}}}{1+\frac{\sin^{2}15^{\circ}}{\cos^{2}15^{\circ}}}=\frac{\sin15^{\circ}\cos15^{\circ}}{\cos^{2}15^{\circ}+\sin^{2}15^{\circ}}=\frac{\frac{1}{2}\sin30^{\circ}}{1}=\frac{1}{4}$;对于C,$\cos36^{\circ}\cos72^{\circ}$$=\frac{\sin36^{\circ}\cos36^{\circ}\cos72^{\circ}}{\sin36^{\circ}}=\frac{\frac{1}{2}\sin72^{\circ}\cos72^{\circ}}{\sin36^{\circ}}=\frac{\frac{1}{4}\sin144^{\circ}}{\sin36^{\circ}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{\sin144^{\circ}}{\sin144^{\circ}}=\frac{1}{4}$;对于D,$2\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ}$$=\frac{2\cos20^{\circ}\sin20^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ}}{\sin20^{\circ}}=\frac{\sin40^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ}}{\sin20^{\circ}}$$=\frac{\frac{1}{2}\sin80^{\circ}\cos80^{\circ}}{\sin20^{\circ}}=\frac{\frac{1}{4}\sin160^{\circ}}{\sin(180^{\circ}-20^{\circ})}=\frac{\frac{1}{4}\cdot\sin160^{\circ}}{\sin160^{\circ}}=\frac{1}{4}$.]

(2)$ \tan 70° + \tan 50° - \sqrt{3} \tan 70° \tan 50° = $________.

答案： 例2
(2)$-\sqrt{3}$[
(2)因为$\tan(70^{\circ}+50^{\circ})=\frac{\tan70^{\circ}+\tan50^{\circ}}{1-\tan70^{\circ}\tan50^{\circ}}$$=\tan120^{\circ}=-\sqrt{3}$,所以$\tan70^{\circ}+\tan50^{\circ}=-\sqrt{3}+\sqrt{3}\tan70^{\circ}\tan50^{\circ}$,所以$\tan70^{\circ}+\tan50^{\circ}=-\sqrt{3}+\sqrt{3}\tan70^{\circ}\tan50^{\circ}-\sqrt{3}$.$\tan70^{\circ}\tan50^{\circ}=-\sqrt{3}$.]

(1)$ \sin^2(\alpha - \frac{\pi}{6}) + \sin^2(\alpha + \frac{\pi}{6}) - \sin^2 \alpha $ 等于 (C)

A.$ -\frac{1}{2} $
B.$ -\frac{\sqrt{3}}{2} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $

答案： 训练2
(1)C[
(1)原式$=\frac{1-\cos(2\alpha-\frac{\pi}{3})}{2}+\frac{1-\cos(2\alpha+\frac{\pi}{3})}{2}-\sin^{2}\alpha$$=1-\frac{1}{2}[\cos(2\alpha-\frac{\pi}{3})+\cos(2\alpha+\frac{\pi}{3})]-\sin^{2}\alpha$$=1-\cos2\alpha\cos\frac{\pi}{3}-\sin^{2}\alpha$$=1-\frac{\cos2\alpha}{2}-\frac{1-\cos2\alpha}{2}=\frac{1}{2}$.]

(2)化简：$ \cos 40°(1 + \sqrt{3} \tan 10°) = $________.

答案： 训练2
(2)1[
(2)$\cos40^{\circ}(1+\sqrt{3}\tan10^{\circ})$$=\cos40^{\circ}(1+\frac{\sqrt{3}\sin10^{\circ}}{\cos10^{\circ}})$$=\cos40^{\circ}\cdot\frac{\cos10^{\circ}+\sqrt{3}\sin10^{\circ}}{\cos10^{\circ}}$$=2\cos40^{\circ}\cdot(\frac{\frac{1}{2}\cos10^{\circ}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin10^{\circ}}{\cos10^{\circ}})$$=\frac{2\cos40^{\circ}\sin40^{\circ}\cos10^{\circ}}{\cos10^{\circ}}=\frac{\sin80^{\circ}\cos10^{\circ}}{\cos10^{\circ}\cos10^{\circ}}=1$.]