《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

已知函数$f(x)=x^2 + (2a - 1)x - 3$。
(1)当$a = 2$，$x\in[-2,3]$时，求函数$f(x)$的值域；
(2)若函数$f(x)$在$[-1,3]$上的最大值为1，求实数$a$的值。

答案： 训练3 解
(1)当$a=2$时,$f(x)=x^{2}+3x-3$，$x \in [-2,3]$，函数图象的对称轴为直线$x=-\frac {3}{2} \in [-2,3]$，$\therefore f(x)_{\min}=f(-\frac {3}{2})=\frac {9}{4}+\frac {9}{2}-3=\frac {21}{4}$，$f(x)_{\max}=f(3)=15$，$\therefore f(x)$的值域为$[-\frac {21}{4},15]$。
(2)函数图象的对称轴为直线$x=-\frac {2a-1}{2}$。①当$-\frac {2a-1}{2} \leq 1$，即$a \geq -\frac {1}{2}$时，$f(x)_{\max}=f(3)=6a+3$，$\therefore 6a+3=1$，即$a=-\frac {1}{3}$，满足题意；②当$-\frac {2a-1}{2}＞1$，即$a＜-\frac {1}{2}$时，$f(x)_{\max}=f(-1)=-2a-1$，$\therefore -2a-1=1$，即$a=-1$，满足题意。综上可知,$a=-\frac {1}{3}$或-1。

1. 一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式.
2. 三个“二次”间的关系

3. $(x - a)(x - b) ＞ 0$或$(x - a)(x - b) ＜ 0$型不等式的解集

4. 分式不等式与整式不等式
(1)$\frac{f(x)}{g(x)} ＞ 0(＜ 0) \Leftrightarrow f(x)\cdot g(x) ＞ 0(＜ 0)$.
(2)$\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0(\leq 0) \Leftrightarrow f(x)\cdot g(x) \geq 0(\leq 0)$且$g(x) \neq 0$.

答案： 2.$\{x|x＞x_2$,或$x＜x_1\} \left\{x\mid x\neq -\frac{b}{2a}\right\} \mathbf{R}$ $\{x|x_1＜x＜x_2\} \varnothing \varnothing$ 3.$\{x|x\neq a\} \{x|x＜b$,或$x＞a\} \varnothing \{x|b＜x＜a\}$