《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图 1).

2. 方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如 B 点的方位角为α(如图 2).
3. 方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东 $30^{\circ}$，北偏西 $45^{\circ}$等.
4. 坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.

答案： 1. 下方

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)东北方向就是北偏东 $45^{\circ}$ 的方向. (√)
(2)从 A 处望 B 处的仰角为α，从 B 处望 A 处的俯角为β，则α，β的关系为 $α+β=180^{\circ}$. (×)
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$. (×)
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是用来确定观察点与目标点之间的位置关系. (√)

答案： 1.
(1)√　
(2)×　
(3)×　
(4)√ [
(2)α＝β；
(3)俯角是视线与水平线所构成的角.]

2. (人教 A 必修二 P51T3 改编)
如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 $40^{\circ}$ 方向，灯塔 B 在观察站南偏东 $60^{\circ}$ 方向，则灯塔 A 在灯塔 B(D)


A.北偏东 $10^{\circ}$ 方向
B.北偏西 $10^{\circ}$ 方向
C.南偏东 $80^{\circ}$ 方向
D.南偏西 $80^{\circ}$ 方向

答案： 2.D [由题可知,∠CAB＝∠CBA＝40°,又∠BCD＝60°,所以∠CBD＝30°,所以∠DBA＝10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.]

3. (人教 A 必修二 P49 例 10 改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取 A，B 两点，从 A，B 两点分别测得树尖 P 的仰角为 $30^{\circ}$， $45^{\circ}$，且 A，B 两点之间的距离为 60 m，则树的高度为(A)


A.$(30\sqrt{3}+30)m$
B.$(15\sqrt{3}+30)m$
C.$(30\sqrt{3}+15)m$
D.$(15\sqrt{3}+15)m$

答案： 3.A [在△ABP中,∠APB＝45°－30°＝15°,所以sin∠APB＝sin 15°＝$\frac{\sqrt{2}}{2}× \frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2}× \frac{1}{2} ＝\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.由正弦定理得PB＝$\frac{AB\sin 30°}{\sin∠APB}=\frac{60× \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}} ＝30(\sqrt{6}+\sqrt{2})$m,所以该树的高度为30($\sqrt{6}+\sqrt{2}$)sin 45°＝(30$\sqrt{3}$+30)m.]

4. (苏教必修二 P108T10 改编)如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点 A，B 到点 C 的距离 $AC = BC = 1$ km，且 $C = 120^{\circ}$，则 A，B 两点间的距离为√3km.
]

答案： 4.√3 [在△ABC中,易得A＝30°,由正弦定理$\frac{AB}{\sin C} ＝\frac{BC}{\sin A}$,得AB＝$\frac{BC\sin C}{\sin A} ＝2×1×\frac{\sqrt{3}}{2} ＝\sqrt{3}$ km.]