《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点一 直线与平面平行的判定与性质
角度1 直线与平面平行的判定
例1 如图，在四棱锥$P - ABCD$中，底面$ABCD$为梯形，$AB// CD$，$PD = AD = AB = 2$，$CD = 4$，$E$为$PC$的中点.
求证：$BE//$平面$PAD$.

答案：
例1　证明　法一　如图，
取PD的中点F，连接EF，FA。

由题意知EF为△PDC的中位线，
∴EF//CD，且EF=$\frac{1}{2}$CD=2。
又
∵AB//CD，AB = 2，CD = 4，
∴AB平行等于EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴BE//AF。又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，
∴BE//平面PAD。
法二　如图，延长DA，CB相交于点H，连接PH。

∵AB//CD，AB = 2，CD = 4，
∴$\frac{HB}{HC}=\frac{AB}{CD}=\frac{1}{2}$，
即B为HC的中点。
又E为PC的中点，
∴BE//PH。
又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD，
∴BE//平面PAD。
法三　如图，取CD的中点H，连接BH，HE。

∵E为PC的中点，
∴EH//PD。
又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EH//平面PAD。
又由题意知AB平行等于DH，
∴四边形ABHD为平行四边形，
∴BH//AD。又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，
∴BH//平面PAD。
又BH∩EH = H，BH，EH⊂平面BHE，
∴平面BHE//平面PAD。
又BE⊂平面BHE，
∴BE//平面PAD。

角度2 直线与平面平行的性质
例2 (2025·宜荆荆恩联考)在四棱锥$P - ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，$E,F$分别为线段$PD,PC$上的点，且$\frac{PE}{ED}=\frac{3}{2}$，若直线$BF//$平面$AEC$，则$\frac{PF}{FC}=$______.

答案：
例2 $\frac{1}{2}$　[连接BD，设AC∩BD = O，连接DF交CE于点G，连接OG。
由于O是BD的中点，所以$\frac{OB}{OD}=\frac{GF}{GD}=1$。
过F作FH//CE，交PD于点H，
则$\frac{ED}{EH}=\frac{GD}{GF}=1$。
由于$\frac{PE}{ED}=\frac{3}{2}$，所以$\frac{PH}{HE}=\frac{1}{2}$，
所以$\frac{PF}{FC}=\frac{PH}{HE}=\frac{1}{2}$。]

如图，四边形$ABCD$为长方形，$PD = AB = 2$，$AD = 4$，点$E,F$分别为$AD,PC$的中点.设平面$PDC\cap$平面$PBE = l$.证明：
(1)$DF//$平面$PBE$；
(2)$DF// l$.

答案：
训练1　证明　
(1)取PB中点G，连接FG，EG。
因为点F为PC的中点，
所以FG//BC，且FG = $\frac{1}{2}$BC。
因为四边形ABCD为长方形，
所以BC//AD，且BC = AD，
所以DE//FG，且DE = FG，
所以四边形DEGF为平行四边形，
所以DF//GE。
因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，
所以DF//平面PBE。

(2)由
(1)知DF//平面PBE，
又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE = l，所以DF//l。