《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例1（2025·杭州质检改编）已知$a\in R$，$f(x)=\frac{a}{x}+\ln x$，若$f(x_{1})=f(x_{2})=2(x_{1}\neq x_{2})$，求证：$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}＞\frac{2}{a}$。

答案： 例1 证明 令$m = \frac{1}{x_1},n = \frac{1}{x_2}$，
因为$x_1 \neq x_2$，所以$m \neq n$，
由$f(x_1) = f(x_2) = 2(x_1 \neq x_2)$可得
$\begin{cases} \frac{a}{x_1} + \ln x_1 = 2, \\ \frac{a}{x_2} + \ln x_2 = 2, \end{cases}$得$\begin{cases} am - \ln m = 2, &① \\ an - \ln n = 2. &②\end{cases}$
① - ②得$a(m - n) = \ln m - \ln n$，
所以$\frac{1}{a} = \frac{m - n}{\ln m - \ln n}$，
要证$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} ＞ \frac{2}{a}$，只需证$m + n ＞ \frac{2}{a} = \frac{2(m - n)}{\ln m - \ln n}$，
只需证$m + n ＞ \frac{2(m - n)}{\ln m - \ln n}$，
由对数均值不等式可知其成立，
所以$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} ＞ \frac{2}{a}$成立。
法二 不妨设$0 ＜ n ＜ m$，
则只需证$\ln\frac{m}{n} ＞ \frac{2(m - n)}{m + n}$，
即证$\ln\frac{m}{n} ＞ \frac{2(\frac{m}{n} - 1)}{\frac{m}{n} + 1}$，令$t = \frac{m}{n}(t ＞ 1)$，
则只需证$\ln t ＞ \frac{2(t - 1)}{t + 1}(t ＞ 1)$，
令$h(t) = \ln t - \frac{2(t - 1)}{t + 1}(t ＞ 1)$，
则$h'(t) = \frac{1}{t} - \frac{2(t + 1) - 2(t - 1)}{(t + 1)^2} = \frac{1}{t} - \frac{4}{(t + 1)^2} = \frac{(t - 1)^2}{t(t + 1)^2} ＞ 0$，
所以$h(t)$在$(1, +\infty)$上单调递增，
所以$h(t) ＞ h(1) = 0$，
所以$\ln t ＞ \frac{2(t - 1)}{t + 1}(t ＞ 1)$成立，
所以$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} ＞ \frac{2}{a}$成立。