《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

训练 2 (2025·福建九地市质检)在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，且$a\sin C = c\sin B$，$C=\frac{2\pi}{3}$.
(1)求$B$的大小；
(2)若$\triangle ABC$的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，求$BC$边上中线的长.

答案：

(1)
∵asinC=csinB，
∴由正弦定理，得sinAsinC=sinCsinB，
∵0＜C＜π，
∴sinC＞0，
∴sinA=sinB。
∵0＜A＜π，0＜B＜π，
∴A=B或A+B=π(舍去)。
∵A+B+C=π，且C=$\frac{2π}{3}$，
∴B=$\frac{π}{6}$。
(2)依题意得$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$absinC，
∵A=B，
∴a=b，
∴$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$a²sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}a²}{4}$，得a=b=$\sqrt{3}$。由正弦定理，得c=$\frac{a\sin C}{\sin A}$=3。设BC的中点为D，连接AD，因为$AD^{2}=\frac{1}{4}(AB^{2}+AC^{2}+2AB\cdot AC\cos\angle CAB)$，解得$AD=\frac{\sqrt{21}}{2}$。

例 3 (2025·江西重点中学协作体联考)在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，其外接圆的半径为$2\sqrt{3}$，且$b\cos C = a+\frac{\sqrt{3}}{3}c\sin B$.
(1)求角$B$；
(2)若$\angle ABC$的平分线交$AC$于点$D$，$BD=\sqrt{3}$，点$E$在线段$AC$上，且$EC = 2EA$，求$\triangle BDE$的面积.

答案：

(1)由正弦定理可得sinBcosC=sinA+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB。又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，则cosBsinC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB=0。
∵C∈(0,π)，
∴sinC≠0，
∴cosB+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinB=0，即tanB=−$\sqrt{3}$。又B∈(0,π)，
∴B=$\frac{2π}{3}$。
(2)由
(1)可知B=$\frac{2π}{3}$，又△ABC的外接圆的半径为2$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理得$\frac{b}{\sin B}$=4$\sqrt{3}$，所以b=6。
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{π}{3}$。由$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCD}+S_{\triangle ABD}$，可得$\frac{1}{2}ac\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{1}{2}a\cdot\sqrt{3}\sin\frac{\pi}{3}+\frac{1}{2}c\cdot\sqrt{3}\sin\frac{\pi}{3}$，即$ac=\sqrt{3}(a+c)$ ①由余弦定理得$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos\frac{2\pi}{3}$，即$(a+c)^{2}-ac=36$ ②由①②可得$a=c=2\sqrt{3}$。所以$BD\perp AC$，又$\because EC=2AE$，则$DE=1$，故$S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。