《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点三 对称性、周期性与单调性
例 3 (多选) (2025·杭州调考) 已知定义域为 $ \mathbf{R} $ 的函数 $ f(x) $ 在 $ (-1, 0] $ 上单调递增，$ f(1 + x) = f(1 - x) $，且图象关于 $ (2, 0) $ 对称，则()

A.$ f(0) = f(-2) $
B.$ f(x) $ 的周期 $ T = 2 $
C.$ f(x) $ 在 $ (2, 3) $ 上单调递减
D.$ f(x) $ 满足 $ f(2025) ＞ f(2026) ＞ f(2027)$$$

答案： 例3 ABD [对于A,因为f(2x+1)为奇函数，所以当x=0时,f(2×0+1)=0,即f
(1)=0,故A正确；对于B,因为f(2x+1)为奇函数，所以f(-2x+1)+f(2x+1)=0,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称，即f(-x)=-f(2-x),因为f(4-x)=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x+4)=f(-x)=-f(2-x)=-f(2-x)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数，则f
(8)=f
(0)=2,故B正确；对于C,因为f(x)在[0,2]上单调递减，所以f(x)在[6,8]上单调递增，故C错误；对于D,f(x)在[0,4]上的零点为1和3,所以f(x)在[0,100]上有50个零点，故D正确.]

(多选) (2025·齐鲁名校联盟联考) 已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，$ f(2x + 1) $ 为奇函数，$ f(4 - x) = f(x) $，$ f(0) = 2 $，且 $ f(x) $ 在 $ [0, 2] $ 上单调递减，则(ABD)

A.$ f(1) = 0 $
B.$ f(8) = 2 $
C.$ f(x) $ 在 $ [6, 8] $ 上单调递减
D.$ f(x) $ 在 $ [0, 100] $ 上有 $ 50 $ 个零点

答案： 例3 ABD [对于A,因为f(2x+1)为奇函数，所以当x=0时,f(2×0+1)=0,即f
(1)=0,故A正确；对于B,因为f(2x+1)为奇函数，所以f(-2x+1)+f(2x+1)=0,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称，即f(-x)=-f(2-x),因为f(4-x)=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x+4)=f(-x)=-f(2-x)=-f(2-x)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数，则f
(8)=f
(0)=2,故B正确；对于C,因为f(x)在[0,2]上单调递减，所以f(x)在[6,8]上单调递增，故C错误；对于D,f(x)在[0,4]上的零点为1和3,所以f(x)在[0,100]上有50个零点，故D正确.]

一、抽象函数求值
例 1 (2025·南京部分学校联考) 已知函数 $ f(x) $，对任意 $ x, y \in \mathbf{R} $，满足 $ f(x + y)f(x - y) = f^2(x) - f^2(y) $，且 $ f(1) = 2 $，$ f(2) = 0 $，则 $ f(1) + f(2) + \cdots + f(90) $ 的值为(C)

A.$ -2 $
B.$ 0 $
C.$ 2 $
D.$ 4$

答案： 例1 C [在$f(x+y)f(x-y)=f^2(x)-f^2(y)$中，令x=2,y=1,得$f(3)f(1)=f^2(2)-f^2(1),$因为f
(1)=2,f
(2)=0,所以f
(3)=-2;令x=3,y=2,得$f(5)f(1)=f^2(3)-f^2(2)=4,$所以f
(5)=2;令x=4,y=1,得$f(5)f(3)=f^2(4)-f^2(1),$所以f
(4)=0.在$f(x+y)f(x-y)=f^2(x)-f^2(y)$中，令y=2,得$f(x+2)f(x-2)=f^2(x),$所以令x=5,得f
(7)=-2,令x=7,得$f(9)f(5)=f^2(6)-f^2(1),$所以f
(6)=0;令x=8,y=1,得$f(9)f(7)=f^2(8)-f^2(1),$所以f
(8)=0.依此类推，可得$f(2k-1)=(-1)^{k+1·2,f(2k)=0(k∈N^*),$且f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)=0(k∈N^*).所以f
(1)+f
(2)+…+f
(90)=22×0+f
(89)+f
(90)=0+2+0=2.]

二、抽象函数的性质
例 2 (多选) 已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \{x | x \neq 4k + 2, k \in \mathbf{Z}\} $，且 $ f(x + y) = \frac{f(x) + f(y)}{1 - f(x)f(y)} $，$ f(1) = 1 $，则(ACD)

A.$ f(0) = 0 $
B.$ f(x) $ 为偶函数
C.$ f(x) $ 为周期函数，且 $ 4 $ 为 $ f(x) $ 的周期
D.$ f(2027) = -1$

答案： 例2 ACD [A中,令x=y=0,得f
(0)=0,故A正确；B中,令y=-x,则$f(0)=\frac{f(x)+f(-x)}{1-f(x)f(-x)}=0,$因此f(-x)=-f(x),又f(x)的定义域为{x|x≠4k+2,k∈Z},所以f(x)为奇函数，故B错误；C中,令y=1,则$f(x+1)=\frac{f(x)+f(1)}{1-f(x)f(1)}=-1+\frac{2}{1-f(x)},$因此$f(x+4)=-\frac{1}{f(x+2)}=f(x),$所以f(x)为周期函数，且周期为4,故C正确；D中,f
(2027)=f
(3)=f(-1)=-f
(1)=-1,故D正确.]

(1) $ f(x) $ 满足对任意的实数 $ a, b $ 都有 $ f(a + b) = f(a) \cdot f(b) $，且 $ f(1) = 2 $，则 $ \frac{f(2)}{f(1)} + \frac{f(4)}{f(3)} + \frac{f(6)}{f(5)} + \cdots + \frac{f(2026)}{f(2025)} = $(A)

A.$ 2026 $
B.$ 2024 $
C.$ 1013 $
D.$ 1012 $

答案： 训练
(1)A [
(1)由f(a+b)=f(a)·f(b),f
(1)=2,令b=1可得f(a+1)=f(a)·f
(1)=2f(a),所以$\frac{f(2)}{f(1)}+\frac{f(4)}{f(3)}+\frac{f(6)}{f(5)}+…+\frac{f(2026)}{f(2025)}=\frac{2f(1)}{f(1)}+\frac{2f(3)}{f(3)}+\frac{2f(5)}{f(5)}+…+\frac{2f(2025)}{f(2025)}=2×1013=2026.]$

(2) (2025·绍兴质检) 已知 $ f(x) $ 是定义在区间 $ (0, +\infty) $ 上的增函数，且 $ f(\frac{x}{y}) = f(x) - f(y) $，$ f(2) = 1 $，如果 $ x $ 满足 $ f(x) - f(\frac{1}{x - 3}) \leq 2 $，则 $ x $ 的取值范围为(3,4]。

答案： 训练
(2)(3,4] [
(2)
∵$f(\frac{x}{y})=f(x)-f(y),$
∴$f(y)+f(\frac{x}{y})=f(x).$在上述等式中取x=4,y=2,则有f
(2)+f
(2)=f
(4).又
∵f
(2)=1,
∴f
(4)=2,
∴$f(x)-f(\frac{1}{x-3})≤2$可变形为f(x(x-3))≤f
(4).又
∵f(x)是定义在区间(0,+∞)上的增函数，
∴$\begin{cases}x(x-3)≤4,\\x＞0,\\x-3＞0,\end{cases}$解得3＜x≤4.故x的取值范围是(3,4].]