《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

2. (人教$A$必修二$P5T3$改编)(多选)下列说法错误的是(CD)

A.非零向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BA}$是两平行向量
B.若$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$，则$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{c}$
C.若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$都是单位向量，则$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$
D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等

答案： 2.CD [易知$A,B$正确；单位向量$\bm{a}$与$\bm{b}$的方向均不确定，故C错误；两个单位向量平行，它们的方向可能相反，两个向量不相等，故D错误]

3. (苏教必修二$P47T17$改编)已知$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是两个不共线向量，向量$\boldsymbol{b}-t\boldsymbol{a}$与$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{3}{2}\boldsymbol{b}$共线，则实数$t=$$\frac{1}{3}$.

答案： 3.$\frac{1}{3}$ [由题意知，存在实数$\lambda$，使得$\bm{b}-t\bm{a}=\lambda(\frac{1}{2}\bm{a}-\frac{3}{2}\bm{b})$，则$\begin{cases}-\frac{1}{2}\lambda=-1\frac{3}{2}\lambda=1\end{cases}$，解得$t=\frac{1}{3}$]

4. (北师大必修二$P89$例$6$改编)如图，点$O$是$□ ABCD$外一点，用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示$\overrightarrow{OD}=$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$.

答案： 4.$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ [由于$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}$，因此只需将$\overrightarrow{CD}$用$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$表示，而$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$，故$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OC}+(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$]

考点一 平面向量的概念
例1 (1)(多选)下列命题正确的有(AD)

A.方向相反的两个非零向量一定共线
B.零向量是唯一没有方向的向量
C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D.“若$A$，$B$，$C$，$D$是不共线的四点，且$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$”$\Leftrightarrow$“四边形$ABCD$是平行四边形”

答案： 例1
(1)AD [
(1)方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；零向量是有方向的，其方向是任意的，故B错误；两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误；$A,B,C,D$是不共线的四点，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，即模相等且方向相同，即平行四边形$ABCD$对边平行且相等，反之也成立，故D正确。]

(2)设$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$都是非零向量，下列四个条件中，使$\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$成立的充分条件是(C)

A.$\boldsymbol{a}=-\boldsymbol{b}$
B.$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$
C.$\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{b}$
D.$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$且$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$

答案：
(2)C [
(2)因为向量$\frac{\bm{a}}{\mid\bm{a}\mid}$的方向与向量$\bm{a}$方向相同，向量$\frac{\bm{b}}{\mid\bm{b}\mid}$的方向与向量$\bm{b}$方向相同，且$\frac{\bm{a}}{\mid\bm{a}\mid}=\frac{\bm{b}}{\mid\bm{b}\mid}$，所以向量$\bm{a}$与向量$\bm{b}$方向相同，故可排除选项A,B,D。当$\bm{a}=2\bm{b}$时，$\frac{\bm{a}}{\mid\bm{a}\mid}=\frac{2\bm{b}}{\mid2\bm{b}\mid}=\frac{\bm{b}}{\mid\bm{b}\mid}$，故$\bm{a}=2\bm{b}$是$\frac{\bm{a}}{\mid\bm{a}\mid}=\frac{\bm{b}}{\mid\bm{b}\mid}$成立的充分条件]

训练1 (1)下列命题中正确的是(A)
A.向量$\overrightarrow{AB}$的长度与向量$\overrightarrow{BA}$的长度相等
B.向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$平行，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的方向相同或相反
C.$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$同向，且$|\boldsymbol{a}|＞|\boldsymbol{b}|$，则$\boldsymbol{a}＞\boldsymbol{b}$
D.两个终点相同的向量，一定是共线向量

答案： 训练1
(1)A [
(1)对于A，向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{BA}$的长度相等，方向相反，故A正确；对于B，向量$\bm{a}$与$\bm{b}$平行，且$\frac{\bm{a}}{\mid\bm{a}\mid}=\frac{\bm{b}}{\mid\bm{b}\mid}$时，不满足条件，故B错误；对于C，因为向量是既有大小又有方向的量，所以任意两个向量都不能比较大小，故C错误；对于D，两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故D错误。]

(2)如图所示，$O$是正六边形$ABCDEF$的中心，则与$\overrightarrow{BC}$相等的向量为(D)

A.$\overrightarrow{BA}$
B.$\overrightarrow{CD}$
C.$\overrightarrow{AD}$
D.$\overrightarrow{OD}$

答案：
(2)D [
(2)A,B选项均与$\overrightarrow{BC}$方向不同，C选项与$\overrightarrow{BC}$长度不相等，D选项与$\overrightarrow{BC}$方向相同，长度相等]

考点二 平面向量的线性运算
例2 (1)(2025·深圳模拟)在$\triangle ABC$中，$D$是线段$AB$上靠近$B$的四等分点，$E$是线段$CD$上靠近$D$的三等分点，则$\overrightarrow{AE}=$(C)

A.$-\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$
B.$\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}-\frac{5}{6}\overrightarrow{CB}$
C.$-\frac{5}{6}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$
D.$-\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$

答案：
例2
(1)C [
(1)如图,由题意得$\overrightarrow{CE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，故$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})=-\frac{5}{6}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$。
　　　　　　　　 ]

(2)(2025·大连双基测试)在$\triangle ABC$中，若$\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\lambda\overrightarrow{CB}$，则$\lambda=$(A)

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$-\frac{1}{3}$
D.$-\frac{2}{3}$

答案：

(2)A [
(2)法一 若$\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{DB}$，则$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=(\frac{1}{m}+1)\overrightarrow{AD}$，可得$\overrightarrow{AD}=\frac{m}{1+m}\overrightarrow{AB}$，$\therefore\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}+\frac{m}{1+m}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}+\frac{m}{1+m}(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})=\frac{1}{1+m}\overrightarrow{CA}+\frac{m}{1+m}\overrightarrow{CB}$，结合题意，得$\frac{1}{1+m}=\frac{1}{3},\frac{m}{1+m}=\lambda$，解得$m=2,\lambda=\frac{2}{3}$。
法二 过点$D$作$DM// BC$，$DN// AC$，分别交$AC,BC$于点$M,N$
　　　　　　　　　
$\because \overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{DB}$，$\therefore$点$D$在$AB$上，又$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\lambda\overrightarrow{CB}$，$\therefore M$为线段$AC$上靠近$C$的三等分点，如图，$CD$为平行四边形$CMDN$的对角线，$\therefore D$为线段$AB$上靠近$B$的三等分点，$\therefore N$为线段$BC$上靠近$B$的三等分点，$\therefore\lambda=\frac{2}{3}$]

训练2 (1)(2025·长沙调研)已知$D$是$\triangle ABC$所在平面内一点，$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，则(A)

A.$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$
B.$\overrightarrow{BD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$
C.$\overrightarrow{BD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$
D.$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$

答案： 训练2
(1)A [⑴由$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，得$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，得$\overrightarrow{BD}=-\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，得$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{5}(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$。]

(2)(2025·西安模拟)在$\triangle ABC$中，$D$在$BC$上，且$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，$E$在$AD$上，且$\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AE}$.若$\overrightarrow{BE}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则$x + y =$(C)

A.$\frac{13}{12}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$-\frac{3}{4}$
D.$-\frac{13}{12}$

答案：

(2)C [
(2)因为$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，所以$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，
　　　　　　　　　
则$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$。又$\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AE}$，所以$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$，则$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=-\frac{11}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$。又$\overrightarrow{BE}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，所以$x=-\frac{11}{12},y=\frac{1}{6}$，则$x+y=-\frac{11}{12}+\frac{1}{6}=-\frac{3}{4}$]