《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 圆的定义和圆的方程

答案： 1.定长 $D^{2}+E^{2}-4F>0$ $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$

2. 点与圆的位置关系
平面上的一点$M(x_0,y_0)$与圆$C:(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$之间存在着下列关系：
(1)$|MC| ＞ r \Leftrightarrow M$在圆外，即$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 ＞ r^2 \Leftrightarrow M$在圆外；
(2)$|MC| = r \Leftrightarrow M$在圆上，即$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2 \Leftrightarrow M$在圆上；
(3)$|MC| ＜ r \Leftrightarrow M$在圆内，即$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 ＜ r^2 \Leftrightarrow M$在圆内。

答案： 2.
(1)圆外　
(2)圆上　
(3)圆内

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)方程$x^2 + y^2 = a^2$表示半径为$a$，圆心为$(0,0)$的圆。(×)
(2)方程$x^2 + y^2 + 4mx - 2y = 0$一定表示圆。(√)
(3)若$(x_0,y_0)$满足$x_0^2 + y_0^2 + Dx_0 + Ey_0 + F ＞ 0$，则点$(x_0,y_0)$必在圆$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$内。(×)
(4)以$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$为直径端点的圆的方程为$(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$。(√)

答案： 1.
(1)×　
(2)√　
(3)×　
(4)√　[
(1)当 $a=0$ 时,$x^{2}+y^{2}=0$ 表示点$(0,0)$;当 $a\neq0$ 时,表示半径为$\vert a\vert$ 的圆。
(3)配方后,$\left(x_{0}+\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(y_{0}+\frac{E}{2}\right)^{2}＞\frac{D^{2}+E^{2}-4F}{4}$,即$\sqrt{\left(x_{0}+\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(y_{0}+\frac{E}{2}\right)^{2}}＞\frac{\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$,点$(x_{0},y_{0})$ 在圆外。]

2.(北师大选修一P44T2原题)已知圆$C:2x^2 + 2y^2 + 4x - 2y - 1 = 0$，则圆心的坐标为$\left(-1,\frac{1}{2}\right)$，半径为$\frac{\sqrt{7}}{2}$。

答案： 2.$\left(-1,\frac{1}{2}\right)$ $\frac{\sqrt{7}}{2}$　[将圆的方程化为标准方程$(x + 1)^{2}+\left(y - \frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}$,则圆心为$\left(-1,\frac{1}{2}\right)$,半径 $r=\frac{\sqrt{7}}{2}$。]

3.(人教B选修一P110T4改编)若坐标原点不在圆$x^2 + y^2 - ay + a - 1 = 0$的内部，则实数$a$的取值范围是$[1,2)\cup(2,+\infty)$。

答案： 3.$[1,2)\cup(2,+\infty)$　[将$(0,0)$代入方程,有 $0^{2}+0^{2}-a\cdot0+a - 1\geq0$,得 $a\geq1$。圆的方程可化为 $x^{2}+\left(y - \frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{4}-a + 1$,$\therefore\frac{a^{2}}{4}-a + 1＞0,\therefore a\neq2$,$\therefore$实数 $a$ 的取值范围为$[1,2)\cup(2,+\infty)$。]

4.(人教A选修一P85T3改编)已知两点$A(4,9)$和$B(6,3)$，则以$AB$为直径的圆的标准方程是$(x - 5)^{2}+(y - 6)^{2}=10$。

答案： 4.$(x - 5)^{2}+(y - 6)^{2}=10$　[由题意得所求圆的圆心为线段 $AB$ 的中点$\left(\frac{4 + 6}{2},\frac{3 + 9}{2}\right)$,即$(5,6)$,半径为$\frac{\vert AB\vert}{2}=\frac{\sqrt{(6 - 4)^{2}+(3 - 9)^{2}}}{2}=\sqrt{10}$,所以所求圆的标准方程为$(x - 5)^{2}+(y - 6)^{2}=10$。]