《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例 1（2025·南京模拟节选）已知函数 $ f(x)=\ln (x + 1)+1 $，若 $ f(x)\lt ke^{x} $ 对任意的 $ x\in (-1,+\infty ) $ 恒成立，求 $ k $ 的取值范围。

答案： 例1 解 $f(x)＜ke^x$ 恒成立，
亦即 $k＞\frac{\ln(x + 1) + 1}{e^x}$，$x\in(-1,+\infty)$ 恒成立.
故只需 $k＞\left[\frac{\ln(x + 1) + 1}{e^x}\right]_{\max}$，$x\in(-1,+\infty)$.
令 $h(x)=\frac{\ln(x + 1) + 1}{e^x}$，$x\in(-1,+\infty)$，
则 $h'(x)=\frac{\frac{1}{x + 1}-\ln(x + 1)-1}{e^x}$.
令 $m(x)=\frac{1}{x + 1}-\ln(x + 1)-1$，$x\in(-1,+\infty)$，
则 $m'(x)=-\frac{1}{(x + 1)^2}-\frac{1}{x + 1}＜0$，
$\therefore m(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递减.
又 $m(0)=0$，$\therefore$ 当 $x\in(-1,0)$ 时，$m(x)＞0$，
即 $h'(x)＞0$，此时 $h(x)$ 单调递增；
当 $x\in(0,+\infty)$ 时，$m(x)＜0$，
即 $h'(x)＜0$，此时 $h(x)$ 单调递减.
$\therefore h(x)_{\max}=h(0)=1$，$\therefore k＞1$.
故实数 $k$ 的取值范围是 $(1,+\infty)$.

训练 1 已知函数 $ f(x)=(2e-x)\ln x $，且 $ f(x)=\frac{1}{2a} $ 有解，其中 $ e $ 为自然对数的底数，求实数 $ a $ 的取值范围

答案： 训练1 解 方程 $(2 - x)\ln x=\frac{1}{2a}$ 有解.
设 $\varphi(x)=(2 - x)\ln x$，
则 $\varphi'(x)=-\ln x+\frac{2 - x}{x}=-\ln x+\frac{2}{x}-1$，
显然 $\varphi'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，
又 $\because\varphi'(e)=0$，则当 $x\in(0,e)$ 时，$\varphi'(x)＞0$；
当 $x\in(e,+\infty)$ 时，$\varphi'(x)＜0$，
从而 $\varphi(x)$ 在 $(0,e)$ 上单调递增，在 $(e,+\infty)$ 上
单调递减，
所以 $\varphi(x)_{\max}=\varphi(e)=e$，
所以 $\frac{1}{2a}\leq e$，解得 $a＜0$ 或 $a\geq\frac{1}{2e}$.
所以 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,0)\cup\left[\frac{1}{2e},+\infty\right)$.