《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

典例
(1) 过点 $ A(1,-4) $ 且与直线 $ 2x + 3y + 5 = 0 $ 平行的直线方程为.$2x + 3y + 10 = 0$
(2) 经过点 $ A(2,1) $ 且与直线 $ 2x + y - 10 = 0 $ 垂直的直线 $ l $ 的方程为.$x - 2y = 0$
(3) 已知两条直线 $ l_1:x - 2y + 4 = 0 $ 和 $ l_2:x + y - 2 = 0 $ 的交点为 $ P $，过点 $ P $ 且与直线 $ l_3:3x - 4y + 5 = 0 $ 垂直的直线 $ l $ 的方程为.$4x + 3y - 6 = 0$

答案： 典例
(1)$2x + 3y + 10 = 0$
(2)$x - 2y = 0$
(3)$4x + 3y - 6 = 0$ [
(1)设所求直线方程为$2x + 3y + c = 0(c\neq5)$，由题意知$2×1 + 3×(-4) + c = 0$，解得$c = 10$，故所求直线方程为$2x + 3y + 10 = 0$.
(2)因为所求直线与直线$2x + y - 10 = 0$垂直，所以设该直线方程为$x - 2y + c = 0$. 又直线过点$A(2,1)$，所以$2 - 2×1 + c = 0$，解得$c = 0$，故所求直线方程为$x - 2y = 0$.
(3)设所求直线$l$的方程为$x - 2y + 4 + \lambda(x + y - 2) = 0$，即$(1 + \lambda)x + (\lambda - 2)y + 4 - 2\lambda = 0$. 因为直线$l$与$l_3$垂直，所以$3(1 + \lambda) - 4(\lambda - 2) = 0$，所以$\lambda = 11$，所以直线$l$的方程为$4x + 3y - 6 = 0$.]

考点三 对称问题
角度 1 关于点对称
例 3 (1) (2025·宁德质检)直线 $ x - 2y - 3 = 0 $ 关于定点 $ M(-2,1) $ 对称的直线方程是.$x - 2y - 11 = 0$

答案：
(1)$x - 2y - 11 = 0$ [
(1)设所求直线上任意一点的坐标为$(x,y)$，则其关于$M(-2,1)$的对称点$(-4 - x,2 - y)$在已知直线上，$\therefore$所求直线方程为$(-4 - x)-2(2 - y)-3 = 0$，即$x - 2y + 11 = 0$.]

(2) 过点 $ P(0,1) $ 作直线 $ l $，使它被直线 $ l_1:2x + y - 8 = 0 $ 和 $ l_2:x - 3y + 10 = 0 $ 截得的线段被点 $ P $ 平分，则直线 $ l $ 的方程为.$x + 4y - 4 = 0$

答案：
(2)$x + 4y - 4 = 0$ [
(2)设$l_1$与$l$的交点为$A(a,8 - 2a)$. 由题意知，点$A$关于点$P$的对称点$B(-a,2a - 6)$在$l_2$上，代入$l_2$的方程得$-a - 3(2a - 6) + 10 = 0$，解得$a = 4$，即点$A(4,0)$在直线$l$上，所以直线$l$的方程为$x + 4y - 4 = 0$.]

角度 2 关于线对称
例 4 (1) (2025·大庆模拟)直线 $ y = \frac{\sqrt{3}}{3}x $ 关于直线 $ x = 1 $ 的对称直线为 $ l $，则直线 $ l $ 的方程是 (C)

A.$ \sqrt{3}x + y - 2 = 0 $
B.$ \sqrt{3}x + y + 2 = 0 $
C.$ x + \sqrt{3}y - 2 = 0 $
D.$ x + \sqrt{3}y + 2 = 0 $

答案：
(1)C [
(1)直线$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$与直线$x = 1$交于点$A(1,\frac{\sqrt{3}}{3})$，所以直线$l$的斜率为$-\frac{\sqrt{3}}{3}$且过点$A(1,\frac{\sqrt{3}}{3})$，所以直线$l$的方程为$y - \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)$，即$x + \sqrt{3}y - 2 = 0$.]

(2) 已知入射光线经过点 $ M(-3,4) $，被直线 $ l:x - y + 3 = 0 $ 反射，反射光线经过点 $ N(2,6) $，则反射光线所在直线的方程为.$6x - y - 6 = 0$

答案：
(2)$6x - y - 6 = 0$ [
(2)设点$M(-3,4)$关于直线$l:x - y + 3 = 0$的对称点为$M^\prime(a,b)$，则反射光线所在直线过点$M^\prime$，所以$\begin{cases}\frac{b - 4}{-3 - a}\cdot1 = -1,\frac{-3 + a}{2} - \frac{b + 4}{2} + 3 = 0.\end{cases}$解得$a = 1,b = 0$. 又反射光线经过点$N(2,6)$，所以所求直线的方程为$\frac{y - 0}{6 - 0} = \frac{x - 1}{2 - 1}$，即$6x - y - 6 = 0$.]

已知直线 $ l:2x - 3y + 1 = 0 $，点 $ A(-1,-2) $. 求：
(1) 点 $ A $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ A' $ 的坐标；
(2) 直线 $ m:3x - 2y - 6 = 0 $ 关于直线 $ l $ 的对称直线 $ m' $ 的方程；
(3) 直线 $ l $ 关于点 $ A $ 对称的直线 $ l' $ 的方程.

答案： 训练3 解
(1)设$A^\prime(x,y)$，则$\begin{cases}\frac{y + 2}{x + 1}×\frac{2}{3} = -1,\\2×\frac{x - 1}{2} - 3×\frac{y - 2}{2} + 1 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = -\frac{33}{13},\\y = \frac{4}{13}.\end{cases}$即$A^\prime(-\frac{33}{13},\frac{4}{13})$.
(2)在直线$m$上取一点，如$M(2,0)$，则$M(2,0)$关于直线$l$的对称点必在$m^\prime$上. 设对称点为$M^\prime(a,b)$，则$\begin{cases}2×\frac{a + 2}{2} - 3×\frac{b + 0}{2} + 1 = 0,\frac{b - 0}{a - 2}×\frac{2}{3} = -1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = \frac{6}{13},\\b = \frac{30}{13}.\end{cases}$即$M^\prime(\frac{6}{13},\frac{30}{13})$. 设$m$与$l$的交点为$N$，则由$\begin{cases}2x - 3y + 1 = 0,\\3x - 2y - 6 = 0.\end{cases}$得$N(4,3)$. 又$m^\prime$经过点$N(4,3)$，$\therefore$由两点式得直线$m^\prime$的方程为$9x - 46y + 102 = 0$.
(3)法一 在$l:2x - 3y + 1 = 0$上任取两点，如$P(1,1),N(4,3)$，则$P,N$关于点$A$的对称点$P^\prime,N^\prime$均在直线$l^\prime$上. 易知$P^\prime(-3,-5),N^\prime(-6,-7)$，由两点式可得$l^\prime$的方程为$2x - 3y - 9 = 0$. 法二 设$Q(x,y)$关于点$A(-1,-2)$的对称点为$Q^\prime(x^\prime,y^\prime)$，则$Q^\prime$在直线$l$上，$\therefore2(-2 - x^\prime) - 3(-4 - y^\prime) + 1 = 0$，即直线$l^\prime$的方程为$2x - 3y - 9 = 0$.