《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点三 对数函数的性质及应用
角度 1 比较大小
例 3 (多选)(2025·南京、盐城模拟)已知 $ x, y \in \mathbf{R} $，且 $ 12^x = 3 $，$ 12^y = 4 $，则(ACD)

A.$ y ＞ x $
B.$ x + y ＞ 1 $
C.$ xy ＜ \frac{1}{4} $
D.$ \sqrt{x} + \sqrt{y} ＜ \sqrt{2}$$$

答案： 例3 ACD [$\because 12^{x} = 3,12^{y} = 4$，$\therefore x = \log_{12}3,y = \log_{12}4$. $\because y = \log_{12}x$在$(0, +\infty)$上单调递增，$\therefore y ＞ x$，故A正确；
$x + y = \log_{12}3 + \log_{12}4 = \log_{12}12 = 1$，$\therefore$B错误；
$\because x ＞ 0,y ＞ 0$，$\therefore xy \leq (\frac{x + y}{2})^{2} = \frac{1}{4}$，
当且仅当$x = y$时等号成立，而$x ＜ y$，
$\therefore xy ＜ \frac{1}{4}$，$\therefore$C正确；
$\because (\sqrt{x} + \sqrt{y})^{2} = x + y + 2\sqrt{xy}$
$= 1 + 2\sqrt{xy} ＜ 2$，
$\sqrt{x} + \sqrt{y} ＜ \sqrt{2}$，$\therefore$D正确]

角度 2 解对数方程或不等式
例 4 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} 2x^2, & x \geq 0, \\ -2x^2, & x ＜ 0, \end{cases} $ 则不等式 $ f((\log_2 x)^2 - 3) ＜ 4f(\log_2 x) $ 的解集为______。

答案： 例4 $(\frac{1}{2},8)$ [当$x \geq 0$时，$f(x) = 2x^{2} \geq 0$，$4f(x) = 8x^{2} = f(2x)$，且$f(x)$在$[0, +\infty)$上单调递增.
当$x ＜ 0$时，$f(x) = -2x^{2} ＜ 0$，$4f(x) = -8x^{2} = f(2x)$，且$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增，所以$f(x)$在R上有$4f(x) = f(2x)$，且函数$f(x)$是R上的增函数，
于是原不等式可化为$(\log_{2}x)^{2} - 3 ＜ 2\log_{2}x$，即$(\log_{2}x)^{2} - 2\log_{2}x - 3 ＜ 0$，
得$-1 ＜ \log_{2}x ＜ 3$，解得$\frac{1}{2} ＜ x ＜ 8$.]

角度 3 对数函数性质的综合应用
例 5 (多选)(2025·泉州模拟)已知函数 $ f(x) = \lg (x^2 - x + \frac{41}{4}) $，则(ACD)

A.$ f(x) $ 的最小值为 1
B.$ \exists x \in \mathbf{R} $，$ f(1) + f(x) = 2 $
C.$ f(\log_9 2) ＞ f(\frac{2}{3}) $
D.$ f(9^{0.1} - \frac{1}{2}) ＞ f(3^{0.18} - \frac{1}{2}) $

答案： 例5 ACD [由题可得，
$f(x) = \lg[(x - \frac{1}{2})^{2} + 10] \geq \lg 10 = 1$，
当且仅当$x = \frac{1}{2}$时，$f(x)$取得最小值$1$，A正确；
因为当且仅当$x = \frac{1}{2}$时，$f(x)$取得最小值$1$，
所以$f(1) ＞ 1$，所以$f(1) + f(x) ＞ 2$，B错误；
因为$0 ＜ \log_{9}2 = \frac{\lg 2}{\lg 9} ＜ \frac{\lg 2}{\lg 8} = \frac{1}{3}$，
所以$|\log_{9}2 - \frac{1}{2}| ＞ \frac{1}{6}$.
$|\frac{2}{3} - \frac{1}{2}| = \frac{1}{6}$，
设$g(x) = x^{2} - x + \frac{41}{4} = (x - \frac{1}{2})^{2} + 10$，
则$g(x)$的图象关于直线$x = \frac{1}{2}$对称，
$g(\log_{9}2) ＞ g(\frac{2}{3}) ＞ 0$，
又$y = \lg x$在定义域上是增函数，
所以$f(\log_{9}2) ＞ f(\frac{2}{3})$，C正确；
因为$9^{0.1} = 3^{0.2} ＞ 3^{0.18} ＞ 1$，
所以$9^{0.1} - \frac{1}{2} ＞ 3^{0.18} - \frac{1}{2} ＞ \frac{1}{2}$，
又$f(x)$在$(\frac{1}{2}, +\infty)$上单调递增，
所以$f(9^{0.1} - \frac{1}{2}) ＞ f(3^{0.18} - \frac{1}{2})$，D正确]

(1)(2025·衡阳质检)已知 $ a = \log_2 1.8 $，$ b = \log_4 3.6 $，$ c = \frac{1}{2} $，则(C)

A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ a ＞ c ＞ b $
C.$ b ＞ a ＞ c $
D.$ b ＞ c ＞ a $

答案：
(1)C [
(1)由$\frac{1}{2} = \log_{2}\sqrt{2} ＜ \log_{2}\sqrt{3.24} = \log_{2}1.8 ＜ \log_{2}\sqrt{3.6} = \log_{2}3.6$，
可得$c ＜ a ＜ b$.]

(2)(2025·银川调研)已知函数 $ f(x) = \ln (e + x) - \ln (e - x) $，则 $ f(x) $ 是(A)

A.奇函数，且在 $ (0, e) $ 上单调递增
B.奇函数，且在 $ (0, e) $ 上单调递减
C.偶函数，且在 $ (0, e) $ 上单调递增
D.偶函数，且在 $ (0, e) $ 上单调递减

答案：
(2)A [
(2)若函数$f(x) = \ln(e + x) - \ln(e - x)$有意义，
则$\begin{cases} e + x ＞ 0 \\ e - x ＞ 0 \end{cases}$ 解得$-e ＜ x ＜ e$，
即函数$f(x)$的定义域为$(-e,e)$.
因为$f(-x) = \ln(e - x) - \ln(e + x) = -[\ln(e + x) - \ln(e - x)] = -f(x)$，
所以函数$f(x)$是奇函数.
函数$f(x) = \ln(e + x) - \ln(e - x) = \ln\frac{e + x}{e - x} = \ln(-1 + \frac{2e}{e - x})$，
令$u = -1 + \frac{2e}{e - x}$，$-e ＜ x ＜ e$，
因为函数$u = -1 + \frac{2e}{e - x}$在$(0,e)$上单调递增，函数$y = \ln u$在定义域上是增函数，
所以函数$f(x)$在$(0,e)$上单调递增.]