《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例1 希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明。他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数$e$的点的轨迹叫做圆锥曲线：当$0 ＜ e ＜ 1$时，轨迹为椭圆；当$e = 1$时，轨迹为抛物线；当$e ＞ 1$时，轨迹为双曲线。现有方程$m(x^{2}+y^{2}+2y + 1)=(2x - y + 3)^{2}$表示的曲线是双曲线，则$m$的取值范围为(C)

A.$(0,8)$
B.$(8,+\infty)$
C.$(0,5)$
D.$(5,+\infty)$

答案： 例1 C [已知方程可整理为：$m[x^{2}+(y + 1)^{2}]=(2x - y + 3)^{2}$，则$m＞0$，$\therefore \sqrt{m} \cdot \sqrt{x^{2}+(y + 1)^{2}}=|2x - y + 3|$，$\therefore \sqrt{\frac{m}{5}} \cdot \sqrt{x^{2}+(y + 1)^{2}}=\frac{|2x - y + 3|}{\sqrt{5}}$，设$P(x,y)$，则其到定点$(0,-1)$的距离为$\sqrt{x^{2}+(y + 1)^{2}}$，到定直线$2x - y + 3 = 0$的距离为$\frac{|2x - y + 3|}{\sqrt{5}}$，$\therefore$点$P$到定点$(0,-1)$与到定直线$2x - y + 3 = 0$的距离之比为$\sqrt{\frac{5}{m}}$，$\because$方程表示的曲线为双曲线，$\therefore \sqrt{\frac{5}{m}}＞1$，解得$0＜m＜5$，即$m$的取值范围为$(0,5)$.]

例2 已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的左、右两个顶点分别为$A$，$B$，点$M_{1}$，$M_{2}$，$\cdots$，$M_{5}$是$AB$的六等分点，分别过这五点作斜率为$k(k\neq0)$的一组平行线，交椭圆$C$于$P_{1}$，$P_{2}$，$\cdots$，$P_{10}$，则直线$AP_{1}$，$AP_{2}$，$\cdots$，$AP_{10}$，这$10$条直线的斜率乘积为(B)

A.$-\frac{1}{16}$
B.$-\frac{1}{32}$
C.$\frac{1}{64}$
D.$\frac{1}{1024}$

答案：
例2 B [由椭圆的性质可得$k_{AP_{1}} \cdot k_{BP_{1}}=k_{AP} \cdot k_{BP_{2}} =-\frac{b^{2}}{a^{2}}=-\frac{1}{2}$. 由椭圆的对称性可得$k_{BP_{1}} = k_{AP_{10}}$，$k_{AP_{1}} \cdot k_{AP_{10}}=-\frac{1}{2}$，同理可得$k_{AP_{2}} \cdot k_{AP_{9}}=k_{AP_{3}} \cdot k_{AP_{8}}=k_{AP_{4}} \cdot k_{AP_{7}}=k_{AP_{5}} \cdot k_{AP_{6}}=-\frac{1}{2}$，$\therefore$直线$AP_{1}$，$AP_{2}$，$\cdots$，$AP_{10}$这$10$条直线的斜率乘积为$(-\frac{1}{2})^{5}=-\frac{1}{32}$.]

训练 (1)已知定点$A(1,1)$和直线$l:x + y - 2 = 0$，那么到定点$A$和到定直线$l$的距离相等的点的轨迹为(D)
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.直线

答案：
(1)D [
(1)显然比值为$1$，但由于$A(1,1)$在直线$l$上，动点的轨迹为过$A$且与$x + y - 2 = 0$垂直的直线.]

(2)(2025·石家庄模拟)已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$，过原点$O$的直线交$C$于$A$，$B$两点(点$B$在右支上)，双曲线右支上一点$P$(异于点$B$)满足$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BP}=0$，直线$PA$交$x$轴于点$D$，若$\angle ADO=\angle AOD$，则双曲线$C$的离心率为(A)
A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$\sqrt{3}$
D.$3$

答案：

(2)A [
(2)如图，$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BP}=0$，$\therefore BA \perp BP$，令$k_{AB}=k$，$\because \angle ADO=\angle AOD$，$\therefore k_{AP}=-k_{AB}=-k$，又$BA \perp BP$，$\therefore k_{PB}=-\frac{1}{k}$，依题意，$k_{PB} \cdot k_{PA}=\frac{b^{2}}{a^{2}}$，$\therefore -\frac{1}{k} \cdot (-k)=\frac{b^{2}}{a^{2}}$，$\therefore \frac{b^{2}}{a^{2}}=1$，即$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{2}$. ]