《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例 3 (2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线 $ C $ 的中心为坐标原点，左焦点为 $ (-2\sqrt{5},0) $，离心率为 $ \sqrt{5} $。
(1)求 $ C $ 的方程；
(2)记 $ C $ 的左、右顶点分别为 $ A_{1} $，$ A_{2} $，过点 $ (-4,0) $ 的直线与 $ C $ 的左支交于 $ M $，$ N $ 两点，$ M $ 在第二象限，直线 $ MA_{1} $ 与 $ NA_{2} $ 交于点 $ P $，证明：点 $ P $ 在定直线上。

答案：
(1)解 设双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a ＞ 0,b ＞ 0)$。由题意可得$\begin{cases} e = \frac{c}{a}=\sqrt{5},\\c^{2}=a^{2}+b^{2}.\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 4.\end{cases}$所以双曲线C的方程为$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$。
(2)证明 设直线MN的方程为$x = my - 4$，$M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})$。易知$A_{1}(-2,0),A_{2}(2,0)$。联立直线MN与双曲线C的方程，得$\begin{cases}x = my - 4,\\4x^{2}-y^{2}=16.\end{cases}$消去$x$并整理，得$(4m^{2}-1)y^{2}-32my + 48 = 0$，则$y_{1}+y_{2}=\frac{32m}{4m^{2}-1},y_{1}y_{2}=\frac{48}{4m^{2}-1}$，且$4m^{2}-1\neq0,\Delta = (-32m)^{2}-4×48×(4m^{2}-1)$$=256m^{2}+192 ＞ 0$。直线$MA_{1}$的方程为$y = \frac{y_{1}}{x_{1}+2}(x + 2)$，直线$NA_{2}$的方程为$y = \frac{y_{2}}{x_{2}-2}(x - 2)$。联立直线$MA_{1}$与直线$NA_{2}$的方程并消去$y$，得$\frac{x + 2}{x - 2}=\frac{y_{2}(x_{1}+2)}{y_{1}(x_{2}-2)}$，$m\cdot\frac{y_{1}y_{2}-2(y_{1}+y_{2})+2y_{1}}{48m^{2}-1}-6y_{1}$$=m\cdot\frac{48}{4m^{2}-1}-6y_{1}$$=\frac{16m}{4m^{2}-1}+2y_{1}$$=\frac{48m}{4m^{2}-1}-6y_{1}$$=\frac{1}{3}$，所以$x = -1$，即点$P$在定直线$x = -1$上。

训练 2 (2025·北京西城区模拟节选)已知抛物线 $ C:x^{2} = y $，过点 $ E(0,2) $ 作直线交抛物线 $ C $ 于 $ A $，$ B $ 两点，过 $ A $，$ B $ 两点分别作抛物线 $ C $ 的切线交于点 $ P $。证明：点 $ P $ 在定直线上。

答案： 证明 设$A(x_{1},x_{1}^{2}),B(x_{2},x_{2}^{2})$，则直线AB的斜率$k_{AB}=\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{x_{1}-x_{2}}=x_{1}+x_{2}$，直线AB的方程为$y - x_{1}^{2}=(x_{1}+x_{2})(x - x_{1})$，即$y=(x_{1}+x_{2})x - x_{1}x_{2}$，又直线AB过点$E(0,2)$，所以$-x_{1}x_{2}=2$，即$x_{1}x_{2}=-2$。设直线$PA$的方程为$y - x_{1}^{2}=k(x - x_{1})$，与抛物线方程$y = x^{2}$联立，得$\begin{cases}y - x_{1}^{2}=k(x - x_{1}),\\y = x^{2}.\end{cases}$解得$x = x_{1}$或$x = k - x_{1}$，又直线$PA$与抛物线相切，所以$x_{1}=k - x_{1}$，即$k = 2x_{1}$，所以直线$PA$的方程为$y - x_{1}^{2}=2x_{1}(x - x_{1})$，即$y = 2x_{1}x - x_{1}^{2}$，同理可得直线$PB$的方程为$y = 2x_{2}x - x_{2}^{2}$。由$\begin{cases}y = 2x_{1}x - x_{1}^{2},\\y = 2x_{2}x - x_{2}^{2}.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\\y = x_{1}x_{2}.\end{cases}$所以$P(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},x_{1}x_{2})$，即$P(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, - 2)$，故点$P$在定直线$y = - 2$上。