《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

考点一 正、余弦定理的直接应用
例1 (1)(2025·榆林模拟)$\triangle ABC$的内角$A$,$B$,$C$所对的边分别为$a$,$b$,$c$,若$a\sin A+(b+\lambda a)\sin B = c\sin C$,则$\lambda$的取值范围为 (A)

A.$(-2,2)$
B.$(0,2)$
C.$[-2,2]$
D.$[0,2]$

答案： 例1
(1)A [
(1)因为$a\sin A+(b+\lambda a)\sin B=c\sin C$,由正弦定理得$c^{2}=a^{2}+b^{2}+\lambda ab$,由余弦定理知$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$,所以$\lambda=-2\cos C$,因为$C\in(0,\pi)$,所以$\cos C\in(-1,1)$,故$\lambda\in(-2,2)$.]

(2)(2024·全国甲卷)在$\triangle ABC$中,内角$A$,$B$,$C$所对的边分别为$a$,$b$,$c$,若$B=\frac{\pi}{3}$,$b^{2}=\frac{9}{4}ac$,则$\sin A+\sin C=$ (C)

A.$\frac{2\sqrt{39}}{13}$
B.$\frac{\sqrt{39}}{13}$
C.$\frac{\sqrt{7}}{2}$
D.$\frac{3\sqrt{13}}{13}$

答案：
(2)C [
(2)由正弦定理得$\frac{9}{4}\sin A\sin C=\sin^{2}B$,因为$B=\frac{\pi}{3}$,所以$\sin A\sin C=\frac{4}{9}\sin^{2}B=\frac{1}{3}$.由余弦定理得$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot\cos B=a^{2}+c^{2}-ac=\frac{9}{4}ac$,所以$a^{2}+c^{2}=\frac{13}{4}ac$,所以$\sin^{2}A+\sin^{2}C=\frac{13}{4}\sin A\sin C$,所以$(\sin A+\sin C)^{2}=\sin^{2}A+\sin^{2}C+2\sin A\sin C=\frac{21}{4}\sin A\sin C=\frac{7}{4}$,又$\sin A＞0,\sin C＞0$,所以$\sin A+\sin C=\frac{\sqrt{7}}{2}$.]

(1)(2024·南京调研)在$\triangle ABC$中,内角$A$,$B$,$C$的对边分别为$a$,$b$,$c$.若$a = 2$,$b=\sqrt{6}$,$B=\frac{\pi}{3}$,则$A=$ (A)

A.$\frac{\pi}{4}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{\pi}{4}$或$\frac{3\pi}{4}$
D.$\frac{\pi}{3}$或$\frac{2\pi}{3}$

答案： 训练1
(1)A [
(1)根据正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$得$\frac{2}{\sin A}=\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$,故$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$.因为$0＜A＜\pi$,所以$A=\frac{\pi}{4}$或$\frac{3\pi}{4}$.又因为$a＜b$,所以$A＜B$,故$A=\frac{\pi}{4}$.]

(2)已知$\triangle ABC$的内角$A$,$B$,$C$所对的边分别为$a$,$b$,$c$,若$b\sin 2A = a\sin B$,且$c = 2b$,则$\frac{a}{b}$等于 (D)

A.$2$
B.$3$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

答案：
(2)D [
(2)由正弦定理及$b\sin2A=a\sin B$,得$2\sin B\sin A\cos A=\sin A\sin B$,又$\sin A\neq0,\sin B\neq0$,则$\cos A=\frac{1}{2}$.又$c=2b$,所以由余弦定理得$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=b^{2}+4b^{2}-4b^{2}×\frac{1}{2}=3b^{2}$,得$\frac{a}{b}=\sqrt{3}$.]

考点二 利用正、余弦定理判断三角形的形状
例2 (1)(2025·齐齐哈尔调研)在$\triangle ABC$中,$a$,$b$,$c$分别是内角$A$,$B$,$C$的对边,且$2\sin^{2}\frac{B + C}{2}＞\frac{b + c}{c}$,则$\triangle ABC$的形状为 (B)

A.直角三角形
B.钝角三角形
C.直角或钝角三角形
D.锐角三角形

答案： 例2
(1)B [
(1)由$2\sin^{2}\frac{B + C}{2}=1-\cos(B + C)＞\frac{b + c}{c}$,即$1+\cos A＞\frac{\sin B+\sin C}{\sin C}$,因为$C\in(0,\pi)$,所以$\sin C＞0$,则$\sin C+\cos A\sin C＞\sin B+\sin C$,即$\cos A\sin C＞\sin B$,即$\cos A\sin C＞\sin A\cos C+\cos A\sin C$,即$\sin A\cos C＜0$,又$A\in(0,\pi)$,所以$\sin A＞0$,所以$\cos C＜0$,所以角$C$为钝角,故$\triangle ABC$为钝角三角形.]

(2)(多选)(2025·重庆诊断)在$\triangle ABC$中,下列说法正确的是 (BC)

A.若$a\cos A = b\cos B$,则$\triangle ABC$为直角三角形
B.若$a = 40$,$b = 20$,$B = 25^{\circ}$,则$\triangle ABC$必有两解
C.若$\triangle ABC$是锐角三角形,则$\sin A ＞ \cos B$
D.若$\cos 2A+\cos 2B-\cos 2C ＜ 1$,则$\triangle ABC$为锐角三角形

答案：
(2)BC [
(2)对于$A$,由正弦定理可得$\sin A\cos A=\sin B\cos B$,$\therefore\sin2A=\sin2B$,$\therefore A = B$或$2A + 2B = 180^{\circ}$,即$A = B$或$A + B = 90^{\circ}$,$\therefore \triangle ABC$为等腰三角形或直角三角形,故$A$错误;对于$B$,$a\sin B = 40\sin25^{\circ}＜40\sin30^{\circ}=40×\frac{1}{2}=20$,即$a\sin B＜b＜a$,$\therefore \triangle ABC$必有两解,故$B$正确;对于$C$,$\because \triangle ABC$是锐角三角形,$\therefore0^{\circ}＜A＜90^{\circ},0^{\circ}＜B＜90^{\circ},180^{\circ}＞A + B＞90^{\circ}$,即$90^{\circ}＞A＞90^{\circ}-B＞0^{\circ}$,$\therefore\sin A＞\sin(90^{\circ}-B)=\cos B$,故$C$正确;对于$D$,由题意及二倍角的余弦公式知$1 - 2\sin^{2}A + 1 - 2\sin^{2}B - 1 + 2\sin^{2}C＜1$,即$\sin^{2}A+\sin^{2}B-\sin^{2}C＞0$,即$a^{2}+b^{2}-c^{2}＞0$,即$\cos C＞0$,即$C$为锐角,但不能说明$\triangle ABC$为锐角三角形,故$D$错误.]