《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$，$O$是平面上的任意一点，作$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，则$\angle AOB=\theta(0\leqslant\theta\leqslant\pi)$叫做向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$，它们的夹角为$\theta$，我们把数量|$\vec{a}$||$\vec{b}$|cosθ叫做向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的数量积(或内积)，记作$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$，即$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$|$\vec{a}$||$\vec{b}$|cosθ. 规定：零向量与任一向量的数量积为$0$，即$\boldsymbol{0}\cdot\boldsymbol{a}=0$.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点$O$，作$\overrightarrow{OM}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{ON}=\boldsymbol{b}$，过点$M$作直线$ON$的垂线，垂足为$M_1$，则$\overrightarrow{OM}$就是向量$\boldsymbol{a}$在向量$\boldsymbol{b}$上的投影向量.

设与$\boldsymbol{b}$方向相同的单位向量为$\boldsymbol{e}$，$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，则$\overrightarrow{OM_1}$与$\boldsymbol{e}$，$\boldsymbol{a}$，$\theta$之间的关系为$\overrightarrow{OM_1}=|\boldsymbol{a}|\cos\theta\boldsymbol{e}$.

答案： 1.
(2) |$\vec{a}$||$\vec{b}$|cosθ  |$\vec{a}$||$\vec{b}$|cosθ
(3) $\overrightarrow{OM}$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$. (×)
(2)向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$上的投影向量为$(|\boldsymbol{a}|\cos\theta)\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$. (√)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量. (√)
(4)若$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}(\boldsymbol{a}\neq\boldsymbol{0})$，则$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$. (×)

答案： 1.
(1)×　
(2)√　
(3)√　
(4)× [
(1)两个向量夹角的范围是[0,π].
(4)由$\vec{a}$.$\vec{b}$=$\vec{a}$.$\vec{c}$($\vec{a}$≠0)得|$\vec{a}$||$\vec{b}$|.cos〈$\vec{a}$,$\vec{b}$〉=|$\vec{a}$||$\vec{c}$|.cos〈$\vec{a}$,$\vec{c}$〉，所以向量$\vec{b}$和$\vec{c}$不一定相等.

2. (人教A必修二P35例11改编)设$\boldsymbol{a}=(5,-7)$，$\boldsymbol{b}=(-6,-4)$，设$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta=$-$\frac{\sqrt{962}}{962}$.

答案： 2. -$\frac{\sqrt{962}}{962}$ [cosθ = $\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}$ = $\frac{-30 + 28}{\sqrt{74}×\sqrt{52}}$ = -$\frac{\sqrt{962}}{962}$

3. (苏教必修二P47T12改编)已知$|\boldsymbol{a}|=3$，$|\boldsymbol{b}|=4$，且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$不共线，若$(\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}-k\boldsymbol{b})$，则实数$k=$±$\frac{3}{4}$.

答案： 3. ±$\frac{3}{4}$ [由题意知($\vec{a}$ + k$\vec{b}$).($\vec{a}$ - k$\vec{b}$) = $\vec{a}$² - k²$\vec{b}$² = 9 - 16k² = 0，解得k = ±$\frac{3}{4}$

4. (北师大必修二P113练习T2(2)改编)已知$|\boldsymbol{a}|=6$，$|\boldsymbol{b}|=4$，$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$60^{\circ}$，则$(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b})=$84.

答案： 4. 84 [(2$\vec{a}$ - $\vec{b}$).($\vec{a}$ + 3$\vec{b}$) = 2|$\vec{a}$|² + 5$\vec{a}$.$\vec{b}$ - 3|$\vec{b}$|² = 2×36 + 5×6×4×$\frac{1}{2}$ - 3×16 = 84.]