《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线. (×)
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线. (×)
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. (×)
(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面. (×)

答案： 1.
(1)×　
(2)×　
(3)×　
(4)×　[
(1)两条平行直线也没有公共点，故错误.
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.
(4)由于a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误.]

2. (人教A必修二P128T2改编)下列命题正确的是(D)

A.空间任意三个点确定一个平面
B.一个点和一条直线确定一个平面
C.空间两两相交的三条直线确定一个平面
D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面

答案： 2.D　[A中，空间不共线的三点确定一个平面，A错；
B中，只有点在直线外时才能确定一个平面，B错；
C中，空间两两相交的三条直线确定一个平面或三个平面，C错；故只有选项D正确.]

3. (人教A必修二P147例1改编)在长方体ABCD - A'B'C'D'中，AB = BC = 1，AA' = 2，则异面直线BA'与AC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$.

答案：
$3.\frac{\sqrt{10}}{10}　[$如图，连接CD'，
易知CD'⊥BA'，
则∠ACD'或其补角是异面直线BA'与AC所成的角.
连接AD'，在△ACD'中，
$AC=\sqrt{2}，$
$AD'=CD'=\sqrt{5}，$
设AC的中点为O，则D'O⊥AC，
故$\cos∠ACD'=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}.$

4. (苏教必修二P175T15改编)如图，在三棱锥A - BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则

(1)当AC，BD满足条件____时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形.

答案： 4.
(1)AC=BD　
(2)AC=BD且AC⊥BD
[
(1)要使四边形EFGH为菱形，应有EF=EH.
∵$EF⊥\frac{1}{2}AC，$$EH⊥\frac{1}{2}BD，$
∴AC=BD.
(2)要使四边形EFGH为正方形，
应有EF=EH且EF⊥EH，
∵$EF⊥\frac{1}{2}AC，$$EH⊥\frac{1}{2}BD，$
∴AC=BD且AC⊥BD.]

考点一 基本事实与推论的应用
例1 已知在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为D₁C₁，C₁B₁的中点，AC∩BD = P，A₁C₁∩EF = Q.
求证：(1)D，B，E，F四点共面；
(2)若A₁C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC₁三线交于一点.

答案： 例1　证明　　
(1)如图所示，连接B₁D₁.
因为EF是△D₁B₁C₁的中位线，
所以EF//B₁D₁.
在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，
B₁D₁//BD，
所以EF//BD，所以EF，BD确定一个平面，
即D，B，E，F四点共面.
(2)在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，连接A₁C，设A₁，C，C₁确定的平面为α，又设平面BDEF为β.
因为Q∈A₁C₁，所以Q∈α.
又Q∈EF，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点.
所以α∩β=PQ.
又A₁C∩β=R，所以R∈A₁C，R∈α，且R∈β.
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.
(3)因为EF//BD且EF＜BD，
所以DE与BF相交，
设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D₁DCC，
得M∈平面D₁DCC，
同理，M∈平面B₁BCC₁.
又平面D₁DCC₁∩平面B₁BCC₁=CC₁，
所以M∈CC₁.
所以DE，BF，CC₁三线交于一点

(1)在三棱锥A - BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG = P，则点P(B)

A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上
D.不在直线AC上，也不在直线BD上

答案： 训练1
(1)B　[
(1)因为EF∩HG=P，E，F，G，H四点分别是AB，BC，CD，DA上的点，
所以EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，
所以P既在平面ABC内，又在平面ACD内，
所以P在平面ABC和平面ACD的交线上，
又平面ABC∩平面ACD=AC，
所以P∈AC.]

(2)如图，P，Q，R，S分别是正方体或四面体所在棱的中点，则在下列图形中，这四个点不共面的一个图是(D)

答案：
(2)D[
(2)A中，由PQ与SR相交，知P，Q，R，S四点共面；
B中，由QR与PS相交，知P，Q，R，S四点共面；
C中，由PQ//SR，知P，Q，R，S四点共面；
D中，由QR和PS是异面直线，并且任意两个点的连线既不平行也不相交，知四点不共面.]