《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例2(1)设$a = 2^{0.7}$，$b = (\frac{1}{3})^{0.7}$，$c = \log_2\frac{1}{3}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为(D)

A.$a ＜ b ＜ c$
B.$c ＜ a ＜ b$
C.$b ＜ c ＜ a$
D.$c ＜ b ＜ a$

答案：
(1)D

(2)已知$a = \log_32$，$b = \log_52$，$c = 3^{a - 1}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为(B)

A.$a ＜ b ＜ c$
B.$b ＜ a ＜ c$
C.$c ＜ a ＜ b$
D.$c ＜ b ＜ a$

答案：
(2)B [
(1)由题意知，$a=2^{0.7}＞2^{0}=1$，$b=(\frac{1}{3})^{-0.7}=3^{-0.7}＜3^{0}=1$，又$b＞0$，所以$0＜b＜1,c=\log_{\frac{1}{2}}3＜0$，所以$c＜b＜a$.
(2)由题意知，$c=3^{a - 1}=\frac{1}{3}×3^{\log_{3}2}=\frac{2}{3}$$b=\log_{5}2＜\log_{5}\sqrt{5}=\frac{1}{2}$，$a=\log_{3}2＞\log_{3}\sqrt{3}=\frac{1}{2}$又$2^{3}＜3^{2}$，则$2＜\frac{3}{2},a=\log_{2}2＜\log_{2}3^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}$所以$b＜a＜c$.]

训练2(1)(2025·南昌模拟)已知$a = \log_25$，$b = \log_52$，$c = e^{\frac{1}{2}}$，则(D)
A.$c ＜ a ＜ b$
B.$a ＜ c ＜ b$
C.$a ＜ b ＜ c$
D.$b ＜ c ＜ a$

答案：
(1)D

(2)(2024·天津二模)已知$a = \log_{\sqrt{3}}2$，$b = \log_2\frac{\sqrt{2}}{2}$，$c = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}$，则(C)
A.$a ＞ b ＞ c$
B.$c ＞ b ＞ a$
C.$a ＞ c ＞ b$
D.$b ＞ c ＞ a$

答案：
(2)C
(2)因为$a=\log_{\sqrt{2}}2=\frac{\ln2}{\ln\sqrt{3}}=\frac{\ln2}{\frac{1}{2}\ln3}=\frac{\ln2}{\ln\sqrt{3}}$，$b=\log_{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}=\log_{2}\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$，$0＜c=(\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}＜(\frac{1}{3})^{0}=1$，故$a＞c＞b$.

例3(2025·青岛模拟)已知正数$a$，$b$，$c$满足$ae^a = b\ln b = e^c\ln c = 1$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为(D)

A.$c ＜ a ＜ b$
B.$c ＜ b ＜ a$
C.$a ＜ b ＜ c$
D.$a ＜ c ＜ b$

答案： 例3 D [由$ae^{a}=b\ln b=e^{c}\ln c = 1$，得$e^{a}-\frac{1}{a}=\ln b-\frac{1}{b}=\ln c-\frac{1}{c}=0$，令函数$f(x)=e^{x}-\frac{1}{x},x＞0$，显然函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，而$f(\frac{1}{2})=e^{\frac{1}{2}}-2＜0,f(1)=e - 1＞0,f(a)=0$，则$\frac{1}{2}＜a＜1$；令函数$g(x)=\ln x-\frac{1}{x}$，函数$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，$g(2)=\ln 2-\frac{1}{2}＞0$，而$g(\frac{3}{2})=\ln\frac{3}{2}-\frac{2}{3}＜\ln\sqrt{e}-\frac{2}{3}$$=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}＜0$，$g(b)=0$，则$\frac{3}{2}＜b＜2$；令$h(x)=\ln x-\frac{1}{e^{x}}$，函数$h(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，而$h(1)=\ln 1-\frac{1}{e}＜0$，$h(\frac{3}{2})=\ln\frac{3}{2}-\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}＞\ln\frac{3}{2}-\frac{1}{3}$$=\frac{1}{3}\ln\frac{27}{8}-\frac{1}{3}＞\ln e^{-\frac{1}{3}}=0$，$h(c)=0$，则$1＜c＜\frac{3}{2}$，所以$a＜c＜b$.]

训练3 已知实数$a$，$b$满足$2a + 2^a ＜ 2b + 2^b$，则$a$，$b$的大小关系为(C)
A.$a ＞ b$
B.$a = b$
C.$a ＜ b$
D.不能确定

答案： 训练3 C [设$f(x)=2x + 2^{x},x\in R$，则$f(a)＜f(b)$，因为函数$y = 2x$和$y = 2^{x}$在R上都为增函数，所以函数$f(x)$在R上为增函数，所以$a＜b$.]