《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

典例 (2025·济南质检节选)法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点$Q$的轨迹是以椭圆的中心为圆心，$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$（$a$为椭圆的长半轴长，$b$为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆。已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a ＞ b ＞ 0)$过点$(\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$，且短轴的一个端点到焦点的距离为$\sqrt{3}$。
(1)求椭圆$C$的蒙日圆的方程；
(2)若斜率为$1$的直线$l$与椭圆$C$相切，且与椭圆$C$的蒙日圆相交于$M$，$N$两点，求$\triangle OMN$的面积（$O$为坐标原点）。

答案： 典例 解
(1)依题意，结合$a^2 = b^2 + c^2$（$c$为椭圆$C$的半焦距）知，$a = \sqrt{3}$，$\frac{(\frac{3}{2})^2}{3} + \frac{( - \frac{1}{2})^2}{b^2} = 1$，解得$b^2 = 1$，所以$\sqrt{a^2 + b^2} = 2$，所以椭圆$C$的蒙日圆的方程为$x^2 + y^2 = 4$。
(2)由
(1)知，椭圆$C$的方程为$\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$。设直线$l$的方程为$y = x + m$，由$\begin{cases} y = x + m, \\ \frac{x^2}{3} + y^2 = 1. \end{cases}$消去$y$并整理，得$4x^2 + 6mx + 3(m^2 - 1) = 0$，由$\Delta = 36m^2 - 16 × 3(m^2 - 3) = 0$，得$m^2 = 4$，即$|m| = 2$，所以坐标原点$O$到直线$l:x - y + m = 0$的距离$d = \frac{|m|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，所以$|MN| = 2\sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{2}$，所以$S_{\triangle OMN} = \frac{1}{2}|MN| \cdot d = 2$。

训练 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆。我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆。已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a ＞ b ＞ 0)$的蒙日圆方程为$x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$，$M$为蒙日圆上一个动点，过点$M$作椭圆$C$的两条切线，与蒙日圆分别交于$P$，$Q$两点，若$\triangle MPQ$面积的最大值为$4b^{2}$，则椭圆$C$的离心率为(A)

A.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{3}$

答案： A [由已知条件可得$MP \perp MQ$，则$PQ$为圆$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$的一条直径，则$|MP|^2 + |MQ|^2 = |PQ|^2 = 4(a^2 + b^2)$，所以$S_{\triangle MPQ} = \frac{1}{2}|MP| \cdot |MQ| \leqslant \frac{|MP|^2 + |MQ|^2}{4} = a^2 + b^2$，当且仅当$|MP| = |MQ|$时，等号成立。所以$a^2 + b^2 = 4b^2$，所以$a^2 = 3b^2 = 3(a^2 - c^2)$，即$2a^2 = 3c^2$，所以$e = \frac{\sqrt{6}}{3}$。