《2025年创新设计高考总复习高三数学人教版A版》

例 1 (1)(2025·青岛质检)如图所示是函数 $ y = x ^ { \frac { m } { n } } ( m, n \in \mathbf { N } ^ { * } $ 且互质)的图象，则 $(\quad)$


A.$ m $，$ n $ 是奇数，且 $ \frac { m } { n } ＜ 1 $
B.$ m $ 是偶数，$ n $ 是奇数，且 $ \frac { m } { n } ＜ 1 $
C.$ m $ 是偶数，$ n $ 是奇数，且 $ \frac { m } { n } ＞ 1 $
D.$ m $ 是奇数，$ n $ 是偶数，且 $ \frac { m } { n } ＞ 1 $

答案：
(1)B [
(1)由图象可知$y = x^{\frac{m}{n}}$（$m,n \in \mathbf{N}^*$且互质）的图象，该函数为偶函数，故$m$是偶数，$n$是奇数；在$(0, +\infty)$上单调递增且图象上凸，所以$\frac{m}{n} ＜ 1$. 故选B.]

(2)(2025·郑州模拟)已知 $ a = \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { \frac { 4 } { 3 } } $，$ b = \left( \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } $，$ c = \left( \frac { 1 } { 25 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为 $(\quad)$

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ c ＜ a ＜ b $
C.$ a ＞ b ＞ c $
D. b ＜ c ＜ a

答案：
(2)B [
(2)由$a = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{4}{3}} = \left( \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right)^{\frac{2}{3}} = \left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{2}{3}}$，$b = \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{2}{3}}$，$c = \left( \frac{1}{25} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( \left( \frac{1}{5} \right)^2 \right)^{\frac{1}{3}} = \left( \frac{1}{5} \right)^{\frac{2}{3}}$. 因为幂函数$y = x^{\frac{2}{3}}$在区间$(0, +\infty)$上单调递增，且$\frac{1}{5} ＜ \frac{1}{4} ＜ \frac{1}{3}$，所以$\left( \frac{1}{5} \right)^{\frac{2}{3}} ＜ \left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{2}{3}} ＜ \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{2}{3}}$，即$c ＜ a ＜ b$. 故选B.]

训练 1 (1)(2025·湖北名校联考)已知幂函数 $ f ( x ) = x ^ { m ^ { 2 } + 2 m - 3 } ( m \in \mathbf { Z } ) $ 是偶函数，且 $ f ( x ) $ 在 $( - \infty, 0 )$ 上单调递增，则 $ m = $ $(\quad)$

A.$ - 2 $
B.$ - 1 $
C.$ 0 $
D.$ 3 $

答案：
(1)B [
(1)因为函数$f(x)$是偶函数，且在$(-\infty, 0)$上单调递增，所以函数$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递减，所以$m^{2} + 2m - 3 ＜ 0$，即$(m - 1)(m + 3) ＜ 0$，解得$-3 ＜ m ＜ 1$，又因为$m \in \mathbf{Z}$，所以$m = -2$或$m = -1$或$m = 0$. 当$m = 0$或$m = -2$时，$f(x) = x^{-3}$为奇函数，不满足题意；当$m = -1$时，$f(x) = x^{-4}$为偶函数，满足题意，所以$m = -1$. 故选B.]

(2)(2024·南充二诊)已知函数 $ f ( x ) $ 的图象如图所示，则 $ f ( x ) $ 的解析式可能是 $(\quad)$


A.$ y = x ^ { \frac { 1 } { 2 } } $
B.$ y = x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } $
C.$ y = x ^ { 3 } $
D.$ y = x ^ { \frac { 1 } { 3 } } $

答案：
(2)D [
(2)对于A，函数$y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$的定义域为$[0, +\infty)$，不符合题意；对于B，函数$y = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$的定义域为$(0, +\infty)$，不符合题意；对于C，函数$y = x^{3}$在$(0, +\infty)$上图象下凸递增，不符合题意；对于D，函数$y = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$的定义域为$\mathbf{R}$，为奇函数，在$(0, +\infty)$上图象上凸递增，符合题意. 故选D.]

例 2 已知函数 $ f ( x ) = \frac { a x + 2 - a } { x + 1 } $，其中 $ a \in \mathbf { R } $.
(1)当函数 $ f ( x ) $ 的图象关于点 $ P ( - 1, 3 ) $ 成中心对称时，求 $ a $ 的值；
(2)若函数 $ f ( x ) $ 在 $ ( - 1, + \infty ) $ 上单调递减，求 $ a $ 的取值范围.

答案： 例2 解　
(1)$f(x) = \frac{ax + 2 - a}{x + 1} = a + \frac{2 - 2a}{x + 1}$，所以$f(x)$的对称中心为点$(-1, a)$，由题意得$a = 3$.
(2)由$f(x) = \frac{ax + 2 - a}{x + 1}$知直线$x = -1$为$f(x)$的一条渐近线，又由一次分式函数的性质知，当且仅当$1 × (2 - a) ＞ 1 × a$，即$a ＜ 1$时，$f(x)$在$(-1, +\infty)$上单调递减，故$a$的取值范围是$(-\infty, 1)$.