《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

*11. (★★)如图 24.2 - 26,PA,PB是⊙O的切线,AC是⊙O直径,∠C = 55°,则∠APB等于【D】

A.55°
B.60°
C.65°
D.70°

答案： D

*12. (★★)如图 24.2 - 27,已知⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆,则图中阴影部分的面积为$\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$.

答案： $\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$

13. (★★)如图 24.2 - 28,在△ABC中,AC = 3,BC = 4,∠C = 90°,⊙O为△ABC的内切圆,与三边的切点分别为D,E,F,则⊙O的面积为$\pi$.(结果保留π)

答案： $\pi$（以保留$\pi$的形式填写，若题目是选择题形式，根据实际选项对应选择）

*14. (★★)三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值,很多数学家给出了不同形式的计算公式. 在文明古国古希腊,数学家海伦给出了求三角形面积的一个公式——海伦公式,即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记$p= \frac{a + b + c}{2}$,那么其面积$S= \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$.如图24.2 - 29,在△ABC中,BC = 4,AC = 5,AB = 7.
(1)请用海伦公式求△ABC的面积;
(2)求△ABC的内切圆半径.

答案：
(1)已知BC=a=4，AC=b=5，AB=c=7，
则$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{4+5+7}{2}=8$，
由海伦公式得$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{8×(8-4)×(8-5)×(8-7)}=\sqrt{8×4×3×1}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$。
(2)设△ABC的内切圆半径为r，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$，
即$4\sqrt{6}=\frac{1}{2}×(4+5+7)r$，
解得$r=\frac{4\sqrt{6}}{8}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
(1)$4\sqrt{6}$；
(2)$\frac{\sqrt{6}}{2}$

15. (★★)(2020·河南)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而"利用尺规作图三等分一个任意角"曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的. 人们根据实际需要,发明了一种简易操作工具——三分角器. 图24.2 - 30①是它的示意图,其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上,且AB的长度与半圆的半径相等;DB与AC垂直于点B,DB足够长.
使用方法如图24.2 - 30②所示,若要把∠MEN三等分,只需适当放置三分角器,使DB经过∠MEN的顶点E,点A落在边EM上,半圆O与另一边EN恰好相切,切点为F,则EB,EO就把∠MEN三等分了.
为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明. 如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出证明过程.

已知:如图24.2 - 30②,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点B,AB=OB，点A在EM上，半圆O与EN相切于点F.
求证:∠MEB=∠BEO=∠OEN.
证明：

答案： 已知: AB=OB，点A在EM上，半圆O与EN相切于点F。
求证: ∠MEB=∠BEO=∠OEN。
证明：设∠MEB=∠1，∠BEO=∠2，∠OEN=∠3。
∵EB⊥AC，
∴∠EBA=∠EBO=90°。
∵AB=OB，EB=EB，
∴Rt△EBA≌Rt△EBO（HL）。
∴∠1=∠2。
∵半圆O与EN相切于F，
∴OF⊥EN（切线性质），即∠OFE=90°。
∵OB=OF（半径相等），EO=EO，
∴Rt△EBO≌Rt△EFO（HL）。
∴∠2=∠3。
∴∠1=∠2=∠3，即EB，EO把∠MEN三等分。