《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

1. (★)抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的顶点是最低(高)点. 当$a$＞$0$时,是最低点;当$a$＜$0$时,是最高点.

答案： 顶；＞；低；＜；高

2. (★)对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$,当$x = $$-\frac{b}{2a}$时,有最小(大)值$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$.

答案： $-\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$

3. (★★)将一条长为$20\mathrm{cm}$的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是12.5$\mathrm{cm}^{2}$.

答案： $12.5$

4. 用总长为$80\mathrm{m}$的篱笆围成矩形场地,矩形面积$S随矩形一边长a$的变化而变化. 当$a$是20$\mathrm{m}$时,场地的面积$S$最大.

答案： $20$

5. (★★)用铝合金型材做一个形状如图22.3-1①所示的矩形窗框,设窗框的一边长为$x\mathrm{m}$,窗户的透光面积为$y\mathrm{m}^{2}$,$y与x$的函数图象如图22.3-1②所示. 观察图象,当$x = $1时,窗户透光面积最大.

答案： 1

6. (★★)如图22.3-2,在矩形$ABCD$中,$AB = 2$,$BC = 4$,$E$,$F$,$G$,$H四点依次是边AB$,$BC$,$CD$,$DA$上一点(不与各顶点重合),且$AE = AH = CG = CF$,记四边形$EFGH面积为S$(图中阴影),$AE = x$.
(1)求$S关于x$的函数表达式,并直接写出自变量的取值范围.
(2)求$x$为何值时,$S$的值最大,并写出$S$的最大值.

答案：
(1)
$S = S_{矩形ABCD}-S_{\triangle AHE}-S_{\triangle BEF}-S_{\triangle CFG}-S_{\triangle DGH}$
$S_{矩形ABCD}=AB× BC = 2×4 = 8$
$S_{\triangle AHE}=\frac{1}{2}× AE× AH=\frac{1}{2}x\cdot x=\frac{1}{2}x^{2}$
$BE = 2 - x$，$BF = 4 - x$，$S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}× BE× BF=\frac{1}{2}(2 - x)(4 - x)$
$CF = x$，$CG = x$，$S_{\triangle CFG}=\frac{1}{2}× CG× CF=\frac{1}{2}x^{2}$
$DG = 2 - x$，$DH = 4 - x$，$S_{\triangle DGH}=\frac{1}{2}× DG× DH=\frac{1}{2}(2 - x)(4 - x)$
$S = 8 - 2×\frac{1}{2}x^{2}-2×\frac{1}{2}(2 - x)(4 - x)$
$S = 8 - x^{2}-(8 - 6x + x^{2})$
$S = - 2x^{2+ 6x}$
自变量$x$的取值范围是$0\lt x\lt2$。
(2)
对于二次函数$S = - 2x^{2}+6x$，其中$a=-2$，$b = 6$，$c = 0$。
其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-2)}=\frac{3}{2}$。
因为$a=-2\lt0$，所以函数图象开口向下，当$x = \frac{3}{2}$时，$S$有最大值。
$S_{最大值}=-2×(\frac{3}{2})^{2}+6×\frac{3}{2}$
$S_{最大值}=-2×\frac{9}{4}+9$
$S_{最大值}=-\frac{9}{2}+9=\frac{9}{2}$
综上，
(1)$S = - 2x^{2}+6x(0\lt x\lt2)$；
(2)当$x = \frac{3}{2}$时，$S$的值最大，最大值为$\frac{9}{2}$。

7. (★)如图22.3-3,在边长为$6\mathrm{cm}的正方形ABCD$中,点$E$,$F$,$G$,$H分别从点A$,$B$,$C$,$D$同时出发,均以$1\mathrm{cm}/\mathrm{s}的速度向点B$,$C$,$D$,$A$匀速运动,当点$E到达点B$时,四个点同时停止运动. 在运动过程中,运动时间$t = $3$\mathrm{s}$时,四边形$EFGH$的面积最小.

答案： 3