《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

13. (★)如图27.2-48,在△ABC中,∠C= 90°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E,若AC= 8,BC= 6,DE= 3,则AD的长为【C】

A.3
B.4
C.5

D.6

答案： C

14. (★★)如图27.2-49,AB是⊙O的直径,点C在圆上,CD⊥AB,DE//BC,则图中与△ABC相似的三角形有【A】

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

答案： A

15. (★★)如图27.2-50,在Rt△ACB中,∠ACB= 90°,O是AC边上的一点,以O为圆心,OC为半径的圆与AB相切于点D,连接OD.
(1)求证:△ADO∽△ACB;
(2)若⊙O的半径为1,求证:AC= AD·CB.

答案：
(1)
∵AB是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥AB，∠ADO=90°。
∵∠ACB=90°，
∴∠ADO=∠ACB。
又
∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB（AA）。
(2)
∵⊙O半径为1，
∴OC=OD=1。
由
(1)△ADO∽△ACB，得AD/AC=OD/CB。
∵OD=1，
∴AD/AC=1/CB，
∴AD·CB=AC·1，即AC=AD·CB。

16. (★★★)(2022·鄂州)如图27.2-51,在边长为6的等边△ABC中,D,E分别为边BC,AC上的点,AD与BE相交于点P,若BD= CE= 2,则△ABP的周长为6 + 18√7/7.

答案： 6 + 18√7/7

17. (★★)(2022·江西)如图27.2-52,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,∠ACD= ∠ABE.
(1)求证:△ABC∽△AEB;
(2)当AB= 6,AC= 4时,求AE的长.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BCD，即∠ACB=∠ACD。
∵∠ACD=∠ABE，
∴∠ACB=∠ABE。
在△ABC和△AEB中，∠BAC=∠EAB（公共角），∠ACB=∠ABE，
∴△ABC∽△AEB（AA）。
(2)解：
∵△ABC∽△AEB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
∵AB=6，AC=4，
∴$\frac{6}{AE}=\frac{4}{6}$，解得$AE=\frac{6×6}{4}=9$。
故AE的长为9。