《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

15. (★★)如图 23.1 - 12,把边长为 1 的正方形 ABCD 绕顶点 A 逆时针方向旋转 30°得到正方形 AB'C'D',则它们的公共部分的面积等于

答案： 1. 首先，连接$AE$：
因为正方形$ABCD$绕顶点$A$逆时针方向旋转$30^{\circ}$得到正方形$AB'C'D'$，所以$\angle BAB' = 30^{\circ}$，则$\angle DAB'=60^{\circ}$，$AD = AB'$，$\angle D=\angle B' = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ADE$和$Rt\triangle AB'E$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = AB'\\AE = AE\end{array}\right.$，根据$HL$（斜边 - 直角边）定理可得$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle AB'E$。
所以$\angle DAE=\angle B'AE$，又因为$\angle DAB' = 60^{\circ}$，所以$\angle DAE=\angle B'AE = 30^{\circ}$。
2. 然后，在$Rt\triangle ADE$中：
已知$AD = 1$，根据$\tan\angle DAE=\frac{DE}{AD}$，由$\angle DAE = 30^{\circ}$，$AD = 1$，根据三角函数关系$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$\tan\angle DAE=\frac{DE}{AD}$（$AD = 1$），可得$DE=\tan30^{\circ}× AD$。
所以$DE=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（在$Rt\triangle ADE$中，$a = AD$，$h = DE$），则$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}× AD× DE$。
把$AD = 1$，$DE=\frac{\sqrt{3}}{3}$代入可得$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}$。
3. 最后，求公共部分面积：
因为公共部分面积$S = 2S_{\triangle ADE}$。
所以$S = 2×\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。

16. (★★★)在 Rt △ABC 中,∠ABC = 90°,∠ACB = 30°,将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转一定的角度 α 得到 △DEC,点 A,B 的对应点分别是 D,E.
- (1)当点 E 恰好在 AC 上时,如图 23.1 - 13①,连接 AD,则 ∠ADE 的度数为15°；
- (2)当 α = 60°时,点 F 是边 AC 的中点,如图 23.1 - 13②,求证：四边形 BEDF 是平行四边形.

答案：
(1)15°
(2)证明：
∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，F为AC中点，
∴BF=1/2AC=AF=CF，∠BAC=60°，△ABF为等边三角形，BF=AB=DE。
由旋转性质，CA=CD，∠ACD=60°，
∴△ACD为等边三角形，DF⊥AC，DF=√3CF。
∵CB=CE，∠BCE=60°，
∴△BCE为等边三角形，BE=BC=√3CF，∠BEC=60°。
∴DF=BE。
∵∠DFC=90°，∠FCE=30°，CE=√3CF，
∴∠FEC=30°，∠BEF=30°。
∵DF⊥AC，∠CFE=120°，
∴∠DFE=30°=∠BEF，
∴DF//BE。
∵DF=BE且DF//BE，
∴四边形BEDF是平行四边形。

17. (★★)(2022·潍坊)如图 23.1 - 14,在平面直角坐标系中,边长为 2 个单位长度的正方形 ABCO 绕原点 O 逆时针旋转 75°,再沿 y 轴方向向上平移 1 个单位长度,则点 B''的坐标为(-√2, √6 + 1).

答案： (-√2, √6 + 1)

18. (★★)(2022·丽水)一副三角板按图 23.1 - 15①放置,O 是边 BC(DF)的中点,BC = 12 cm. 如图 23.1 - 15②,将 △ABC 绕点 O 顺时针旋转 60°,AC 与 EF 相交于点 G,则 FG 的长是cm.

答案： $3\sqrt 3-3$