《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

9. (★★) 在解一元二次方程 $ x^{2}+bx + c = 0 $ 时,小明看错了一次项系数 $ b $,得到的解为 $ x_{1} = 2,x_{2} = 3 $；小刚看错了常数项 $ c $,得到的解为 $ x_{1} = 1,x_{2} = 5 $. 请你写出正确的一元二次方程：$x^2 - 6x + 6 = 0$.

答案： $x^2 - 6x + 6 = 0$

10. (★★) 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是 $ x^{2}-4x + 2 = 0 $ 的两根,求下列各式的值：
(1) $ \frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}} $；
(2) $ (x_{1}-x_{2})^{2} $.

答案： 由已知方程 $x^{2} - 4x + 2 = 0$，根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = 4$，
$x_{1}x_{2} = 2$，
(1) 求 $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}}$
首先，计算 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$，
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} = 4^{2} - 2 × 2 = 12$，
然后，计算 $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}}$，
$\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}x_{2}^{2}} = \frac{12}{(x_{1}x_{2})^{2}} = \frac{12}{2^{2}} = 3$。
(2) 求 $(x_{1} - x_{2})^{2}$
使用公式 $(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2}$，
$(x_{1} - x_{2})^{2} = 4^{2} - 4 × 2 = 8$。

11. (★★) 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-3x + m = 0 $ 有两个根,其中一个根是另一个根的 $ 2 $ 倍,求 $ m $ 的值及方程的两个根.

答案： 设方程 $x^{2} - 3x + m = 0$ 的两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，且 $x_1 = 2x_2$。
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$x_1 + x_2 = 3$，
$x_1 × x_2 = m$，
由于 $x_1 = 2x_2$，代入 $x_1 + x_2 = 3$，解得：
$2x_2 + x_2 = 3$，
$3x_2 = 3$，
$x_2 = 1$，
由此可得 $x_1 = 2$。
再根据 $x_1 × x_2 = m$，有：
$m = 2 × 1 = 2$。
答：$m$ 的值为 $2$，方程的两个根为 $x_1 = 2$，$x_2 = 1$。

12. (★★) 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+(2a + 1)x + a^{2}-1 = 0 $ 有两个不相等的实数根 $ x_{1},x_{2} $.
(1) 求 $ a $ 的取值范围；
(2) 若 $ a $ 为满足条件的负整数,写出 $ a $ 的值,并求出 $ x_{1}+x_{2} $ 的值.

答案： 答题卡：
(1)
由于方程 $x^{2} + (2a + 1)x + a^{2} - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，根据判别式的性质，有：
$\Delta = (2a + 1)^{2} - 4(a^{2} - 1) ＞ 0$，
展开并整理得：
$4a^{2} + 4a + 1 - 4a^{2} + 4 ＞ 0$，
$4a + 5 ＞ 0$，
$a ＞ -\frac{5}{4}$。
(2)
由于 $a$ 为满足条件的负整数，且 $a ＞ -\frac{5}{4}$，所以 $a$ 只能取 $-1$。
将 $a = -1$ 代入原方程 $x^{2} + (2a + 1)x + a^{2} - 1 = 0$，得到：
$x^{2} - x = 0$，
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = -\left( \frac{b}{a} \right) = 1$，
（其中该一元二次方程标准形式为$ax^{2} +bx+c=0$，这里$a=1,b=-1$）。

13. (★) (2023·天津) 若 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ x^{2}-6x - 7 = 0 $ 的两个根,则 【A】
A.$ x_{1}+x_{2} = 6 $
B.$ x_{1}+x_{2} = -6 $
C.$ x_{1}x_{2} = -\frac{7}{6} $
D.$ x_{1}x_{2} = 7 $

答案： A

14. (★★) (2021·北京) 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4mx + 3m^{2} = 0 $.
(1) 求证：该方程总有两个实数根；
(2) 若 $ m＞0 $,且该方程的两个实数根的差为 $ 2 $,求 $ m $ 的值.

答案：
(1)
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-4mx + 3m^{2}=0$中，$a = 1$，$b=-4m$，$c = 3m^{2}$，则$\Delta=(-4m)^{2}-4×1×3m^{2}$
$=16m^{2}-12m^{2}=4m^{2}\geqslant0$。
所以该方程总有两个实数根。
(2)
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_1$和$x_2$，由韦达定理可知$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
对于方程$x^{2}-4mx + 3m^{2}=0$，$x_{1}+x_{2}=4m$，$x_{1}x_{2}=3m^{2}$。
已知$(x_{1}-x_{2}) = 2$，则$(x_{1}-x_{2})^{2}=4$。
根据$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$，将$x_{1}+x_{2}=4m$，$x_{1}x_{2}=3m^{2}$代入可得：
$(4m)^{2}-4×3m^{2}=4$
$16m^{2}-12m^{2}=4$
$4m^{2}=4$
$m^{2}=1$
解得$m=\pm1$。
因为$m\gt0$，所以$m = 1$。
综上，
(1)已证明该方程总有两个实数根；
(2) $m$的值为$1$。