《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

10. (★)用配方法解下列方程时,其中应在方程左右两边同时加上9的是【D】
A.$ x^{2}-2x= 5 $
B.$ 2x^{2}-4x= 5 $
C.$ x^{2}+4x= 5 $
D.$ x^{2}+6x= 5 $

答案： D

11. (★)方程$ x^{2}+2x+1= 0 $的根是【B】
A.$ x_{1}= x_{2}= 1 $
B.$ x_{1}= x_{2}= -1 $
C.$ x_{1}= -1,x_{2}= 1 $
D.无实数根

答案： B

12. (★★)已知方程$ x^{2}-6x+q= 0 $可以配方成$ (x-p)^{2}= 7 $的形式,那么$ q $的值是【C】
A.9
B.7
C.2
D.-2

答案： C

13. (★★)若关于$ x $的一元二次方程$ x^{2}+6x+c= 0 $配方后得到方程$ (x+a)^{2}= 1 $,则$ a+c $的值为【D】
A.8
B.9
C.10
D.11

答案： D

14. (★★)用配方法解下列方程:
(1) $ x^{2}-4x-5= 0 $;
(2) $ x^{2}-6x= -9 $;
(3) $ 2t^{2}-7t-4= 0 $;
(4) $ 3x^{2}-4= -6x $.

答案：
(1)移项，得$x^{2}-4x=5$，配方，得$x^{2}-4x+4=5+4$，即$(x-2)^{2}=9$，开平方，得$x-2=\pm3$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=-1$。
(2)配方，得$x^{2}-6x+9=-9+9$，即$(x-3)^{2}=0$，开平方，得$x-3=0$，解得$x_{1}=x_{2}=3$。
(3)移项，得$2t^{2}-7t=4$，二次项系数化为1，得$t^{2}-\frac{7}{2}t=2$，配方，得$t^{2}-\frac{7}{2}t+(\frac{7}{4})^{2}=2+(\frac{7}{4})^{2}$，即$(t-\frac{7}{4})^{2}=\frac{81}{16}$，开平方，得$t-\frac{7}{4}=\pm\frac{9}{4}$，解得$t_{1}=4$，$t_{2}=-\frac{1}{2}$。
(4)移项，得$3x^{2}+6x=4$，二次项系数化为1，得$x^{2}+2x=\frac{4}{3}$，配方，得$x^{2}+2x+1=\frac{4}{3}+1$，即$(x+1)^{2}=\frac{7}{3}$，开平方，得$x+1=\pm\frac{\sqrt{21}}{3}$，解得$x_{1}=-1+\frac{\sqrt{21}}{3}$，$x_{2}=-1-\frac{\sqrt{21}}{3}$。

15. (★★)阅读下面材料:
将一个代数式或式子的一部分通过恒等变形化为完全平方式,再进行有关运算和解题,这种解题方法叫做配方法.如:当$ a $取何值时,代数式$ 2a^{2}+8a+1 $有最小值?最小值是多少?
解:$ 2a^{2}+8a+1= 2(a^{2}+4a)+1= 2(a^{2}+4a+4-4)+1= 2(a+2)^{2}-7 $.$ \because $($ a+2 )^{2}\geq0 $,$ \therefore $ $ 2(a+2)^{2}-7\geq-7 $,$ \therefore $ 当$ a= -2 $时,代数式$ 2a^{2}+8a+1 $有最小值,最小值是-7.
解决问题:
用配方法证明:$ -2x^{2}+4x-10 $的值永远小于0.

答案： 证明：$-2x^{2}+4x - 10$
$=-2(x^{2}-2x)-10$
$=-2(x^{2}-2x + 1 - 1)-10$
$=-2[(x - 1)^{2}-1]-10$
$=-2(x - 1)^{2}+2 - 10$
$=-2(x - 1)^{2}-8$
$\because (x - 1)^{2}\geq0$
$\therefore -2(x - 1)^{2}\leq0$
$\therefore -2(x - 1)^{2}-8\leq -8 ＜ 0$
即$-2x^{2}+4x - 10$的值永远小于0。