《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

19. (★★) 小明从如图 22 - 6 所示的二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象中,观察得出了下面五条信息：①$ a ＜ 0 $；②$ c ＞ 1 $；③$ b ＞ 0 $；④$ a + b + c ＞ 0 $；⑤$ a - b + c ＞ 0 $。你认为其中正确信息的个数是 【C】

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： C

20. (★★) (2023·宁波模拟) 函数 $ y = ax^2 - a (a \neq 0) $ 与 $ y = ax + a $ 的图象大致是图 22 - 7 中的 【C】

答案： C

21. (★★) 根据下表中的二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的自变量 $ x $ 与函数 $ y $ 的对应值,可判断二次函数的图象与 $ x $ 轴 【B】

A.只有一个交点
B.有两个交点,且它们分别在 $ y $ 轴两侧
C.无交点
D.有两个交点,且它们均在 $ y $ 轴同侧

答案： B

22. (★★) (2023·衡阳) 已知 $ m ＞ n ＞ 0 $,若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + 2x - 3 - m = 0 $ 的解为 $ x_1 $,$ x_2 (x_1 ＜ x_2) $,关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + 2x - 3 - n = 0 $ 的解为 $ x_3 $,$ x_4 (x_3 ＜ x_4) $,则下列结论正确的是【B】
A.$ x_3 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ x_4 $
B.$ x_1 ＜ x_3 ＜ x_4 ＜ x_2 $
C.$ x_1 ＜ x_2 ＜ x_3 ＜ x_4 $
D.$ x_3 ＜ x_4 ＜ x_1 ＜ x_2 $

答案： B

23. (★★) 如图 22 - 8,抛物线 $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴的两个交点分别为 $ A(-1, 0) $ 和 $ B(2, 0) $,当 $ y ＜ 0 $ 时,$ x $ 的取值范围是 $\hspace{1em}$x＜-1或x＞2。

答案： x＜-1或x＞2

24. (★★) 不论 $ x $ 取何值,二次函数 $ y = -x^2 + 6x + c $ 的函数值总为负数,则实数 $ c $ 的取值范围为$c\lt - 9$。

答案： $c\lt - 9$（填写形式根据题目要求，本题若用选项形式，假设选项C为$c\lt - 9$ ，则填C）

25. (★★) 如图 22 - 9,已知 $ AB = 2 $,$ C $ 是线段 $ AB $ 上一动点($ C $ 与 $ A $,$ B $ 不重合),四边形 $ ACDE $ 和四边形 $ CBFG $ 都是正方形,设 $ BC = x $。
(1) 用含 $ x $ 的式子表示线段 $ AC $ 的长。
(2) 设正方形 $ ACDE $ 和正方形 $ CBFG $ 的总面积为 $ S $,试表示出 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数关系式.(写出自变量 $ x $ 的取值范围)

(3) (2) 中的总面积 $ S $ 有最大值还是最小值？这个最值是多少？此时点 $ C $ 在线段 $ AB $ 的什么位置？

答案：
(1) 因为 $AB=2$, $BC=x$,
所以 $AC=2-x$。
(2)
$S=(2-x)^2+x^2$
$=4-4x+x^2+x^2$
$=2x^2-4x+4 \quad (0＜x＜2)$
(3)
$S=2x^2-4x+4=2(x-1)^2+2$
当 $x=1$ 时，$S$ 有最小值 $2$，
此时 $C$ 在 $AB$ 中点。