《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

4. ($\star$)如图24-3,点$A$,$B$,$S$在圆上,若弦$AB的长度等于圆半径的\sqrt{2}$倍,则$\angle ASB$的度数是【C】

A.$22.5^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： C

5. ($\star$)如图24-4,四边形$ABCD内接于\odot O$,$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{AD}$,$\angle C = 70^{\circ}$,则$\angle ABD$的度数为35°。
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答案： 35°

6. ($\star$)(2023·昌邑)如图24-5,$AB是\odot O$的直径,$C$,$D是\odot O$上的两点,若$\angle CDB = 42^{\circ}$,则$\angle ABC$的度数是【A】

A.$48^{\circ}$
B.$42^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$43^{\circ}$

答案： A

7. ($\star\star$)如图24-6,$AD为\triangle ABC$外接圆的直径,$AD\perp BC$,垂足为点$F$,$\angle ABC的平分线交AD于点E$,连接$BD$,$CD$。
(1)求证：$BD = CD$。
(2)请判断：$B$,$E$,$C三点是否在以点D$为圆心,$DB$为半径的圆上？若在,请用圆规作出这个圆,并说明理由；若不在,请说明不在的理由。(若作图,请保留作图痕迹)
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答案：
(1)证明：
∵AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，
∴由垂径定理得AD平分弧BC，即弧BD=弧CD，
∴BD=CD（等弧所对的弦相等）。
(2)在。
理由：
∵AD是直径，
∴∠ABD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵BE平分∠ABC，设∠ABE=∠CBE=α。
∵AD⊥BC，
∴∠AFB=90°，设∠BAF=β，则∠ABC=2α=90°-β。
∵弧BD=弧CD（已证），
∴∠CAD=∠BAF=β（等弧所对的圆周角相等）。
∵∠DBE=∠DBC+∠CBE，∠DBC=∠CAD=β（同弧CD所对的圆周角），∠CBE=α，
∴∠DBE=β+α。
∵∠BED=∠BAE+∠ABE=β+α（三角形外角性质），
∴∠BED=∠DBE，
∴DE=DB（等角对等边）。
又
∵BD=CD（已证），
∴DB=DE=DC，
∴B、E、C三点到D的距离均为DB，故三点在以D为圆心，DB为半径的圆上。
作图：以D为圆心，DB长为半径画圆，交AD于E，交BC于B、C（保留作图痕迹）。

8. ($\star$)在$\odot O$中,若弦$BC垂直平分半径OA$,则弦$BC$所对的圆周角的度数为60°或120°。

答案： 60°或120°

9. ($\star$)将半径为$5的\odot O$按如图24-7所示折叠,折痕$AB的长为6$,$C为折叠后\overset{\frown}{AB}$的中点,则$OC$的长为3。
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答案： 3

10. ($\star\star$)如图24-8,矩形$ABCD与圆心在AB上的\odot O交于点G$,$B$,$F$,$E$,$GB = 8\mathrm{cm}$,$AG = 1\mathrm{cm}$,$DE = 2\mathrm{cm}$,则$EF = $6$\mathrm{cm}$。

答案： 6