《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

6. (★★) 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化,上课开始时,学生兴趣激增,学生的兴趣保持平稳状态,随后开始分散。学生注意力指标 $ y $ 随时间 $ x $ (分) 的函数图象如图 26.2 - 2 所示,当 $ 0 \leq x ＜ 10 $ 和 $ 10 \leq x ＜ 20 $ 时,图象是线段,当 $ 20 \leq x \leq 45 $ 时,图象是反比例函数的一部分。
(1) 求点 $ A $ 对应的指标值；
(2) 张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要 17 分钟,他能否经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时注意力指标不低于 36？
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答案：
(1) 设当 $20 \leq x \leq 45$ 时，函数 $y = \frac{k}{x}$，
将 $x = 20, y = 45$ 代入得 $k = 900$，
故 $y = \frac{900}{x}$，
当 $x = 45$ 时，$y = 20$，由图象知 $A$ 的纵坐标为 $20$。
(2) 当 $0 \leq x \leq 10$ 时，设函数 $y = a_1x + b_1$，
将 $(0, 20), (10, 45)$ 代入得 $a_1 = \frac{5}{2}, b_1 = 20$，
故 $y = \frac{5}{2}x + 20$，
当 $10 \leq x \leq 20$ 时，$y = 45$，
当 $20 \leq x \leq 45$ 时，$y = \frac{900}{x}$，
令 $y = 36$，
则 $\frac{5}{2}x + 20 = 36$，解得 $x = \frac{32}{5} = 6.4$，
或 $\frac{900}{x} = 36$，解得 $x = 25$，
所以，当 $\frac{32}{5} \leq x \leq 25$ 时，$y \geq 36$，
因为 $25 - \frac{32}{5} = 25 - 6.4 = 18.6 ＞ 17$，
所以张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时注意力指标不低于 $36$。

7. (★) 某水果生产基地准备将 180 吨的某种水果运往某地销售,若每天运送水果 $ x $ 吨,需要 $ y $ 天完成任务,则 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式是$y = \frac{180}{x}$；如果计划 2 天完成任务,那么每天应运送水果90吨。

答案：
函数解析式：$y = \frac{180}{x}$；
每天应运送水果：90。

8. (★★) 根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销售量关系的调查显示,售价是销售量的反比例函数 (统计数据见下表)。已知该运动鞋的进价为 180 元/双,要使该款运动鞋每天的销售利润达到 2400 元,则其售价应定为300元。

答案： 300

9. (★★) 李琳家的客厅地面需要重新装修,面积为 $ 30 \mathrm{m}^2 $。
(1) 所需地板砖的块数 $ n $ 与每块地板砖的面积 $ S $ 有怎样的函数关系？
(2) 若选购的是边长为 $ 50 \mathrm{cm} $ 的正方形地板砖,则至少需地板砖多少块？

答案：
(1) 根据题意，客厅的总面积为 $30 \mathrm{m}^2$，所需地板砖的块数为 $n$，每块地板砖的面积为 $S$。
由总面积与单块面积和块数的关系，我们有：$n × S = 30$，
从上式解出 $n$，得到：$n = \frac{30}{S}$。
所以，所需地板砖的块数 $n$ 与每块地板砖的面积 $S$ 的函数关系为 $n = \frac{30}{S}$。
(2) 选购的地板砖为边长为 $50 \mathrm{cm}$ 的正方形，其面积为：
$S = 50 \mathrm{cm} × 50 \mathrm{cm} = 2500 \mathrm{cm}^2 = 0.25 \mathrm{m}^2$
将 $S = 0.25 \mathrm{m}^2$ 代入 $n = \frac{30}{S}$，得到：
$n = \frac{30}{0.25} = 120$
所以，至少需要 120 块地板砖。

10. (★★) 某工程队接了一项开挖水渠的工程,如果每天完成的工程量为 24 米,50 天就能完成任务。设完成任务用时 $ y $ 天,每天完成的工程量为 $ x $ 米。
(1) 共需开挖水渠多长？
(2) 写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式。
(3) 如果为了防汛工作的紧急需要,必须在 35 天内完成任务,那么每天至少要完成的工程量是多少？ (保留整数)

答案： （1）根据每天完成的工程量为$24$米，$50$天完成，所以总工程量为：$24 × 50 = 1200 (米)$，
所以共需开挖水渠$1200$米。
（2）根据总工程量不变，有$xy = 1200$，从中解出$y$得到：$y = \frac{1200}{x}$，
所以$y$与$x$的函数解析式为$y = \frac{1200}{x}$。
（3）将$y = 35$代入$y = \frac{1200}{x}$中，得到：$35 = \frac{1200}{x}$，
解这个方程，得到：$x = \frac{1200}{35} \approx 34.29 (米)$，
由于工程量需要保留整数，且为了在$35$天内完成，工程量需要向上取整，所以每天至少要完成$35$米（因为$34$米无法在$35$天内完成，所以需要$35$米）。
综上，每天至少要完成的工程量是$34 + 1 = 35$（米）（或通过$x=\frac{1200}{35}\approx 34.29$，向上取整得到$35$米）。