《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

9. ($★$)下列多项式不是完全平方式的是【A】
A.$4a^{2}-4a-1$
B.$4a^{2}+4a+1$
C.$a^{2}-a+\frac{1}{4}$
D.$a^{2}+a+\frac{1}{4}$

答案： A

10. ($★$)一元二次方程$x^{2}-1= 0$的根为【C】
A.$x= 1$
B.$x= -1$
C.$x_{1}= 1$,$x_{2}= -1$
D.$x= 2$

答案： C

11. ($★★$)已知关于$x的一元二次方程m(x - h)^{2}-k= 0$($m$,$h$,$k均为常数且m\neq0$)的解是$x_{1}= 3$,$x_{2}= 6$,则关于$x的一元二次方程m(x - h - 1)^{2}= k$的解是【C】
A.$x_{1}= -3$,$x_{2}= -6$
B.$x_{1}= -4$,$x_{2}= -7$
C.$x_{1}= 4$,$x_{2}= 7$
D.$x_{1}= 3$,$x_{2}= 6$

答案： C

12. ($★★$)若$(a + b + 1)(a + b - 1)= 15$,则$\sqrt{a + b}$的值是【B】
A.$\pm2$
B.$2$
C.$\pm4$
D.$4$

答案： B

13. ($★★$)若关于$x的一元二次方程ax^{2}= b的两根分别为m + 1与2m - 4$,则方程的根为$2$或$- 2$（或 $\pm 2$）.

答案： $2$或$- 2$（或 $\pm 2$）

14. ($★★$)解下列方程：
(1)$25x^{2}-10x+1= 9$；
(2)$x^{2}-x+\frac{1}{4}= -\frac{1}{2}$；
(3)$(2x - 1)^{2}= (x + 3)^{2}$；
(4)$20(x - 1)^{2}= 5(x + 3)^{2}$.

答案：
(1)
首先将方程$25x^{2}-10x + 1 = 9$化为标准形式：
$25x^{2}-10x-8 = 0$，
其中$a = 25$，$b=-10$，$c = - 8$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
$\Delta=b^{2}-4ac=(-10)^{2}-4×25×(-8)=100 + 800 = 900$，
$x=\frac{10\pm\sqrt{900}}{50}=\frac{10\pm30}{50}$，
$x_1=\frac{10 + 30}{50}=\frac{4}{5}$，$x_2=\frac{10-30}{50}=-\frac{2}{5}$。
(2)
方程$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$化为标准形式：
$x^{2}-x+\frac{3}{4}=0$，
其中$a = 1$，$b=-1$，$c=\frac{3}{4}$，
$\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×1×\frac{3}{4}=1 - 3=-2\lt0$，
所以此方程无实数解。
(3)
由$(2x - 1)^{2}=(x + 3)^{2}$，
开方得$2x - 1=\pm(x + 3)$，
当$2x - 1=x + 3$时，$2x-x=3 + 1$，解得$x = 4$；
当$2x - 1=-(x + 3)$时，$2x-1=-x - 3$，$2x+x=-3 + 1$，$3x=-2$，解得$x=-\frac{2}{3}$。
所以$x_1 = 4$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
(4)
方程$20(x - 1)^{2}=5(x + 3)^{2}$，
两边同时除以$5$得$4(x - 1)^{2}=(x + 3)^{2}$，
开方得$2(x - 1)=\pm(x + 3)$，
当$2(x - 1)=x + 3$时，$2x-2=x + 3$，$2x-x=3 + 2$，解得$x = 5$；
当$2(x - 1)=-(x + 3)$时，$2x-2=-x - 3$，$2x+x=-3 + 2$，$3x=-1$，解得$x=-\frac{1}{3}$。
所以$x_1 = 5$，$x_2=-\frac{1}{3}$。

15. ($★$)(2023·绵阳模拟)解方程：
$(x + 3)^{2}= 4(x - 2)^{2}$.

答案：
$x_1 = 7$，$x_2 = \frac{1}{3}$