《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

5. (★★) 抛物线 $y = kx^{2}-7x - 7$ 的图象和 $x$ 轴有交点,则 $k$ 的取值范围是【$k\geq-\frac{7}{4}$且$k\neq0$】
A.$k \geq -\frac{7}{4}$
B.$k \geq -\frac{7}{4}$ 且 $k \neq 0$
C.$k ＞ -\frac{7}{4}$
D.$k ＞ -\frac{7}{4}$ 且 $k \neq 0$

答案： 【解析】：抛物线 $y=kx^2-7x-7$ 的图象和 $x$ 轴有交点，
则方程$kx^2-7x-7 = 0$有实数根。
所以判别式$\Delta=b^2 - 4ac=(-7)^2-4× k×(-7)=49 + 28k\geq0$，
解不等式$49 + 28k\geq0$，
$28k\geq - 49$，
$k\geq-\frac{49}{28}=-\frac{7}{4}$。
又因为二次项系数$k\neq0$，
所以$k$的取值范围是$k\geq-\frac{7}{4}$且$k\neq0$。
【答案】：B

6. (★★) 已知二次函数 $y = x^{2}+2x + m$ 的图象与 $x$ 轴有且只有一个公共点,则抛物线的顶点坐标为$(-1,0)$。

答案： $(-1,0)$

7. (★★★) (2023·陕西) 下表中列出的是一个二次函数的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的几组对应值：

则下列关于这个二次函数的结论正确的是【C】
A.图象的顶点在第一象限
B.有最小值$-8$
C.图象与 $x$ 轴的一个交点是 $(-1,0)$
D.图象开口向下

答案： C

8. (★) 若一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 有两个实数根,则抛物线 $y = ax^{2}+bx + c$ 与 $x$ 轴【C】
A.有两个交点
B.只有一个交点
C.至少有一个交点
D.至多有一个交点

答案： C

9. (★) 如图 22.2 - 1,抛物线 $y = ax^{2}$ 与直线 $y = bx + c$ 的两个交点坐标分别为 $A(-2,4)$,$B(1,1)$,则方程 $ax^{2}= bx + c$ 的解是$ x_1 = -2 $，$ x_2 = 1 $。

答案： $ x_1 = -2 $，$ x_2 = 1 $

10. (★★) 若函数 $y = (a - 1)x^{2}-4x + 2a$ 的图象与 $x$ 轴有且只有一个交点,则 $a$ 的值为-1或2或1。

答案： -1或2或1

11. (★★) 二次函数 $y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0,a,b,c$ 为常数)的图象如图 22.2 - 2 所示,则 $ax^{2}+bx + c = m$ 有实数根的条件是【B】

A.$m \leq - 2$
B.$m \geq - 2$
C.$m \geq 0$

D.$m ＞ 4$

答案： B

12. (★★) 若二次函数 $y = -x^{2}+2x + k$ 的部分图象如图 22.2 - 3 所示,则关于 $x$ 的一元二次方程 $-x^{2}+2x + k = 0$ 的一个根 $x_{1}= 3$,另一个根 $x_{2}= $$-1$。

答案： $-1$

13. (★★★) 如图 22.2 - 4,二次函数 $y = ax^{2}+bx + c(a ＞ 0)$ 图象的顶点为 $D$,其图象与 $x$ 轴的交点 $A,B$ 的横坐标分别为 $-1$ 和 $3$,则下列结论正确的是【D】

A.$2a - b = 0$
B.$a + b + c ＞ 0$
C.$3a - c = 0$
D.当 $a= \frac{1}{2}$ 时,$\triangle ABD$ 是等腰直角三角形

答案： D

14. (★) 根据下表中二次函数 $y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$ 的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的对应值,可以判断关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0)$ 的一个解 $x$ 的范围是【B】

A.$-2 ＜ x ＜ - 1$
B.$-1 ＜ x ＜ 0$
C.$0 ＜ x ＜ 1$
D.$1 ＜ x ＜ 2$

答案： B