《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

15. (★★)已知点 $ A(-1,3a - 1) $ 与点 $ B(2b + 1,-2) $ 关于 $ x $ 轴对称,点 $ C(a + 2,b) $ 与点 $ D $ 关于原点对称。
(1)求点 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 的坐标；
(2)在图 23.2-30 所示的平面直角坐标系中顺次连接点 $ A $,$ D $,$ B $,$ C $,求所得图形的面积。

答案：
(1) 因为点A与点B关于x轴对称，所以横坐标相等，纵坐标互为相反数。
对于点A(-1, 3a - 1)和点B(2b + 1, -2)：
横坐标：-1 = 2b + 1，解得b = -1；
纵坐标：3a - 1 = 2（-2的相反数为2），解得a = 1。
则A(-1, 2)，B(-1, -2)，C(a + 2, b) = (3, -1)。
点C(3, -1)与D关于原点对称，故D(-3, 1)。
(2) 连接AB，AB为竖直线段，长度为|2 - (-2)| = 4。
点D到AB（x=-1）的距离为|-3 - (-1)| = 2，点C到AB的距离为|3 - (-1)| = 4。
四边形ADBC面积 = S△ADB + S△ACB = 1/2×4×2 + 1/2×4×4 = 4 + 8 = 12。
(1) A(-1,2)，B(-1,-2)，C(3,-1)，D(-3,1)；
(2) 12。

16. (★★★)如图 23.2-31,在平面直角坐标系中,$ O $ 为坐标原点,已知点 $ P(-2,-1) $,点 $ T(t,0) $ 是 $ x $ 轴上的一个动点。
(1)点 $ P $ 关于原点中心对称的点 $ P' $ 的坐标为(2,1)；
(2)若 $ \triangle P'TO $ 是等腰三角形,求 $ t $ 的值。

答案：
(1)(2,1)
(2)
∵P'(2,1)，T(t,0)，O(0,0)
∴P'O=√[(2-0)²+(1-0)²]=√5，TO=|t|，P'T=√[(t-2)²+(0-1)²]=√[(t-2)²+1]
情况1：P'T=P'O
√[(t-2)²+1]=√5
(t-2)²=4
t=4或t=0（t=0时T与O重合，舍去），
∴t=4
情况2：P'T=TO
√[(t-2)²+1]=|t|
(t-2)²+1=t²
-4t+5=0
t=5/4
情况3：P'O=TO
√5=|t|
t=√5或t=-√5
综上，t=-√5，5/4，√5，4

17. (★)(2025·湖北)如图 23.2-32,平行四边形 $ ABCD $ 的对角线交点在原点。若 $ A(-1,2) $,则点 $ C $ 的坐标是【C】

A.$ (2,-1) $
B.$ (-2,1) $
C.$ (1,-2) $
D.$ (-1,-2) $

答案： C