《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

1. (★)(2023·兴化)将一个正八边形绕着其中心旋转后与原图形重合,旋转角的大小不可能是 【B】
A.$45^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$180^{\circ}$

答案： B

2. (★)(2023·抚顺)如图 24 - 28,点 $A$, $B$, $C$ 在 $\odot O$ 上, $\odot O$ 的半径为 $9$, $\overset{\frown}{AB}$ 的长为 $2\pi$,则 $\angle ACB$ 的大小是 【A】

A.$20^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

答案： A

3. (★)已知扇形的弧长为 $10\pi$ cm,面积为 $30\pi$ cm$^{2}$,则扇形的圆心角为300°.

答案： $300{°}$（或 填写数值 300）

4. (★)如图 24 - 29,已知圆锥侧面展开图的扇形面积为 $65\pi$ cm$^{2}$,扇形的弧长 $13\pi$ cm,则圆锥的母线长是 【B】

A.$5$ cm
B.$10$ cm
C.$12$ cm
D.$13$ cm

答案： B

5. (★★)如图 24 - 30,在 $Rt\triangle ABC$ 中, $\angle ACB = 90^{\circ}$, $AC = 4$, $BC = 3$,以 $AB$ 边所在的直线为轴,将 $\triangle ABC$ 旋转一周,则所得几何体的表面积是 【C】

A.$\frac{168}{5}\pi$
B.$24\pi$
C.$\frac{84}{5}\pi$
D.$12\pi$

答案： C

6. (★★)(1)如图 24 - 31,半径为 $2$ 的 $\odot O$ 上有一点 $A$,请作 $\odot O$ 的内接正方形 $ABCD$ 和 $\odot O$ 的内接正六边形 $AEFGHI$,并分别求出它们的边长.(保留作图痕迹)
(2)若把(1)中的半径由特殊到一般推广为 $r$,则还能作出该圆的内接正方形和内接正六边形吗? 若能,请把它们的边长用含 $r$ 的代数式表示出来.(不用画图)

答案：
(1)
作内接正方形$ABCD$：
在圆$O$上任取一点$A$，作直径$AC$，再作$AC$的垂直平分线交圆$O$于$B$、$D$两点，连接$AB$、$BC$、$CD$、$DA$，则正方形$ABCD$为所求作的内接正方形。
因为圆$O$半径为$2$，直径$AC = 4$，根据勾股定理$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，且$AB = BC$，所以$2AB^{2}=16$，解得$AB = 2\sqrt{2}$，即内接正方形边长为$2\sqrt{2}$。
作内接正六边形$AEFGHI$：
在圆$O$上任取一点$A$，以$A$为中心，以圆半径$2$为长度在圆上依次截取$A$、$E$、$F$、$G$、$H$、$I$，顺次连接各点，得到内接正六边形$AEFGHI$。
因为正六边形边长等于圆半径，所以内接正六边形边长为$2$。
(2)
能作出该圆的内接正方形和内接正六边形。
内接正方形边长：设圆半径为$r$，直径为$2r$，根据勾股定理$a^{2}+a^{2}=(2r)^{2}$（$a$为正方形边长），$2a^{2}=4r^{2}$，解得$a=\sqrt{2}r$。
内接正六边形边长：正六边形边长等于圆半径，所以边长为$r$。
综上，答案为：
(1)内接正方形边长为$2\sqrt{2}$，内接正六边形边长为$2$；
(2)能，内接正方形边长为$\sqrt{2}r$，内接正六边形边长为$r$。