《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

8. (★)在$\triangle ABC$中,$AB = 6$,$AC = 8$,$BC = 10$;在$\triangle DEF$中,$\angle D = 90^{\circ}$,$DF = 4$. 要使$\triangle ABC与\triangle DEF$相似,则$EF= $5或20/3.

答案： 5或20/3

9. (★)如图27.2 - 21,点$A$,$B$,$C$,$D$,$E$,$F$,$G$,$H$,$K都是6×8$方格纸中的格点,为使$\triangle DEM\backsim\triangle ABC$,则点$M应是F$,$G$,$H$,$K$四点中的【C】

A.$F$
B.$G$
C.$H$
D.$K$

答案： C

10. (★)如图27.2 - 22,已知$AB:AD = BC:DE = AC:AE$,则下列说法正确的是【C】

A.$\angle ABC= \angle AED$
B.$\angle ACB= \angle ADE$
C.$\angle BAD= \angle CAE$
D.$\angle ADB= \angle BAE$

答案： C

11. (★)$\triangle ABC的三边长分别为\sqrt{2}$,$\sqrt{10}$,2,$\triangle DEF$的两边长分别为1和$\sqrt{5}$,如果$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$,那么$\triangle DEF$的第三边长为【C】
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： C

12. (★★)如图27.2 - 23,四边形$ABCD$、四边形$CDEF$、四边形$EFGH$都是正方形.
(1)$\triangle ACF与\triangle GCA$相似吗? 请说明你的理由.
(2)求$\angle 1+\angle 2$的度数.

答案：
(1) △ACF与△GCA相似。理由如下：设正方形边长为$a$，则$AC=\sqrt{2}a$，$CF=a$，$GC=2a$，$CA=\sqrt{2}a$。计算得$\frac{AC}{GC}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CF}{CA}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{AC}{GC}=\frac{CF}{CA}$。又$\angle ACF=\angle GCA=135°$，故两边对应成比例且夹角相等，所以△ACF∽△GCA。
(2) $45°$。

13. (★★)如图27.2 - 24,某地四个乡镇$A$,$B$,$C$,$D$之间建有公路,已知$AB = 14\mathrm{km}$,$AD = 28\mathrm{km}$,$BD = 21\mathrm{km}$,$BC = 42\mathrm{km}$,$DC = 31.5\mathrm{km}$. 公路$AB与DC$平行吗? 说明理由.

答案： 公路$AB$与$DC$平行。理由如下：
在$\triangle ABD$和$\triangle CDB$中，
$\begin{aligned}\frac{AB}{BD}&=\frac{14}{21}=\frac{2}{3},\\frac{BD}{CD}&=\frac{21}{31.5}=\frac{2}{3},\\frac{AD}{BC}&=\frac{28}{42}=\frac{2}{3}.\end{aligned}$
$\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{BD}{CD}=\frac{AD}{BC}$，
$\therefore \triangle ABD\sim\triangle CDB$（三边成比例的两个三角形相似），
$\therefore \angle ABD = \angle CDB$（相似三角形对应角相等），
$\therefore AB// DC$（内错角相等，两直线平行）。
结论：公路$AB$与$DC$平行。