《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

8. ($★★★$)(2023·许昌模拟)施工队要修建一个纵切面为抛物线的公路隧道,其高度为$6$米,宽度$OM为12$米。现以$O$点为原点,$OM所在直线为x$轴建立平面直角坐标系(如图22.3 - 15①所示)。
(1)求出这条抛物线的函数解析式,并写出自变量$x$的取值范围。
(2)隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽$1$米的隔离带),其中的一条行车道能否行驶宽$2.5$米、高$5$米的特种车辆？请通过计算说明。
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形脚手架$CDAB$,使$A$,$D$点在抛物线上。$B$,$C点在地面OM$线上(如图22.3 - 15②所示)。为了筹备材料,需求出脚手架三根木杆$AB$,$AD$,$DC$的长度之和的最大值是多少,请你帮施工队计算一下。

答案：
(1)y=-1/6x²+2x(0≤x≤12)；
(2)不能；
(3)15米。

9. ($★★$)(2022·南充)如图22.3 - 16,水池中心点$O$处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点$O$在同一水平面。安装师傅调试发现,喷头高$2.5m$时,水柱落点距$O点2.5m$；喷头高$4m$时,水柱落点距$O点3m$。那么喷头高8m时,水柱落点距$O点4m$。

答案： 8

10. ($★★★$)(2022·河南)小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状(如图22.3 - 17①),她对此展开研究：测得喷水头$P距地面0.7m$,水柱在距喷水头$P水平距离5m$处达到最高,最高点距地面$3.2m$；建立如图22.3 - 17②所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为$y = a(x - h)^{2}+k$,其中$x(m)$是水柱距喷水头的水平距离,$y(m)$是水柱距地面的高度。
(1)求抛物线的表达式。
(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头$P水平距离3m$。身高$1.6m$的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离。

答案：
(1)
依题意可知，抛物线顶点坐标为$(5,3.2)$，
所以$h = 5$，$k = 3.2$，
即$y=a(x - 5)^{2}+3.2$，
把$(0,0.7)$代入$y=a(x - 5)^{2}+3.2$得：
$0.7=a(0 - 5)^{2}+3.2$，
$25a+3.2 = 0.7$，
$25a=- 2.5$，
解得$a=-0.1$，
所以抛物线表达式为$y=-0.1(x - 5)^{2}+3.2$。
(2)
当$y = 1.6$时，
$1.6=-0.1(x - 5)^{2}+3.2$，
$-0.1(x - 5)^{2}=1.6 - 3.2=-1.6$，
$(x - 5)^{2}=16$，
$x - 5=\pm4$，
解得$x_1=1$，$x_2 = 9$，
因为爸爸站在水柱正下方，且距喷水头$P$水平距离$3m$，
当$x = 1$时，$\vert1 - 3\vert=2m$；
当$x = 9$时，$\vert9 - 3\vert=6m$。
答：
(1)抛物线表达式为$y=-0.1(x - 5)^{2}+3.2$；
(2)她与爸爸的水平距离为$2m$或$6m$。