《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

16. (★★) 用公式法解下列一元二次方程：
(1) $2x^{2}-x - 1 = 0$；
(2) $x^{2}+1.5 = - 3x$；
(3) $x^{2}-\sqrt{2}x+\frac{1}{2}= 0$；
(4) $(3y - 2)(y + 1)= - 1$。

答案：
(1) $2x^{2}-x - 1 = 0$
解：$a=2$，$b=-1$，$c=-1$
$\Delta =b^2-4ac=(-1)^2-4×2×(-1)=1+8=9＞0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1\pm3}{4}$
$x_1=\frac{1+3}{4}=1$，$x_2=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$
(2) $x^{2}+1.5 = - 3x$
解：整理得$x^2+3x+1.5=0$，即$2x^2+6x+3=0$（去小数）
$a=2$，$b=6$，$c=3$
$\Delta =6^2-4×2×3=36-24=12＞0$
$x=\frac{-6\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{-6\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{2}$
$x_1=\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$
(3) $x^{2}-\sqrt{2}x+\frac{1}{2}= 0$
解：$a=1$，$b=-\sqrt{2}$，$c=\frac{1}{2}$
$\Delta =(-\sqrt{2})^2-4×1×\frac{1}{2}=2-2=0$
$x=\frac{\sqrt{2}\pm0}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$
(4) $(3y - 2)(y + 1)= - 1$
解：整理得$3y^2+3y-2y-2+1=0$，即$3y^2+y-1=0$
$a=3$，$b=1$，$c=-1$
$\Delta =1^2-4×3×(-1)=1+12=13＞0$
$y=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{6}$
$y_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$，$y_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$

17. (★★) 小明在解方程 $x^{2}-5x = 1$ 时出现了错误,解答过程如下：
$\because a = 1,b = - 5,c = 1$,(第一步)
$\therefore b^{2}-4ac = (-5)^{2}-4×1×1 = 21$,(第二步)
$\therefore x= \frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$,(第三步)
$\therefore x_{1}= \frac{5+\sqrt{21}}{2},x_{2}= \frac{5-\sqrt{21}}{2}$。(第四步)
(1) 小明的解答过程是从第一步开始出错的；
(2) 写出此题正确的解答过程。

答案： （1）一。
（2）
首先，将原方程$x^{2} - 5x = 1$化为标准形式：
$x^{2} - 5x - 1 = 0$，
其中，$a = 1$，$b = -5$，$c = -1$，
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4 × 1 × (-1) = 25 + 4 = 29$，
应用求根公式求解：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2}$，
得到两个解：
$x_{1} = \frac{5 + \sqrt{29}}{2}, \quad x_{2} = \frac{5 - \sqrt{29}}{2}$。

18. (★★) (2024·河南) 若关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{2}x^{2}-x + c = 0$ 有两个相等的实数根,则 $c$ 的值为$\frac{1}{2}$。

答案： $\frac{1}{2}$（或 对应填写形式，本题为填空题，直接填写$ \frac{1}{2}$）

19. (★★) (2023·河南) 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+mx - 8 = 0$ 的根的情况是【A】
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： A

20. (★★) (2021·邵阳) 在平面直角坐标系中,若直线 $y = - x + m$ 不经过第一象限,则关于 $x$ 的方程 $mx^{2}+x + 1 = 0$ 的实数根的个数为【D】
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$1$ 或 $2$

答案： D