《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

1. (★)填上适当的数,使下列等式成立:
(1) $ x^{2}+8x+ $16$ =(x+ $4$ )^{2} $;
(2) $ x^{2}-7x+ $$\frac{49}{4}$$ =(x- $$\frac{7}{2}$$ )^{2} $;
(3) $ x^{2}-\frac{2}{3}x+ $$\frac{1}{9}$$ =(x- $$\frac{1}{3}$$ )^{2} $;
(4) $ x^{2}+\frac{5}{2}x+ $$\frac{25}{16}$$ =(x+ $$\frac{5}{4}$$ )^{2} $.

答案：
(1) 16，4；
(2) $\frac{49}{4}$，$\frac{7}{2}$；
(3) $\frac{1}{9}$，$\frac{1}{3}$；
(4) $\frac{25}{16}$，$\frac{5}{4}$。

2. (★)解下列方程:
(1) $ x^{2}-4= 0 $;
(2) $ (2x-3)^{2}= 7 $.

答案：
(1) $x^{2}-4=0$
移项得$x^{2}=4$
开平方得$x=\pm2$
即$x_{1}=2$，$x_{2}=-2$
(2) $(2x - 3)^{2}=7$
开平方得$2x - 3=\pm\sqrt{7}$
移项得$2x = 3\pm\sqrt{7}$
系数化为1得$x=\frac{3\pm\sqrt{7}}{2}$
即$x_{1}=\frac{3 + \sqrt{7}}{2}$，$x_{2}=\frac{3 - \sqrt{7}}{2}$

3. (★)通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.配方是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解,这个过程中用到了转化思想.

答案： 完全平方，降，一元一次方程

4. (★)一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成$ (x+n)^{2}= p $的形式,那么就有:
(1)当$ p＞0 $时,此方程有两个不相等的实数根$ x_{1}= $$-n+\sqrt{p}$,$ x_{2}= $$-n - \sqrt{p}$;
(2)当$ p= 0 $时,此方程有两个相等的实数根$ x_{1}= x_{2}= $$-n$;
(3)当$ p＜0 $时,因为对任意实数$ x $,都有$ (x+n)^{2} $$\geq$$ 0 $,所以此方程没有实数根.

答案： （1）两个不相等；$-n+\sqrt{p}$；$-n - \sqrt{p}$
（2）两个相等；$-n$
（3）$\geq$；没有

5. (★)方程$ x^{2}+6x-5= 0 $的左边配成完全平方式后所得的方程为【A】
A.$ (x+3)^{2}= 14 $
B.$ (x-3)^{2}= 14 $
C.$ (x+6)^{2}= \frac{1}{2} $
D.以上选项都不对

答案： A

6. (★)(2022·雅安)若关于$ x $的一元二次方程$ x^{2}+6x+c= 0 $配方后得到方程$ (x+3)^{2}= 2c $,则$ c $的值为【C】
A.-3
B.0
C.3
D.9

答案： C

7. (★)某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程,每人负责完成一个步骤.如下所示,老师看后,发现有一位同学所负责的步骤是错误的,则这位同学是【B】
原方程:$ 2x^{2}+4x-1= 0 \rightarrow $甲:$ 2x^{2}+4x= 1 \rightarrow $乙:$ x^{2}+2x= 1 \rightarrow $丙:$ x^{2}+2x+1= 1+1 $,即$ (x+1)^{2}= 2 \rightarrow $丁:$ x_{1}= \sqrt{2}-1,x_{2}= -\sqrt{2}-1 $.
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

答案： B

8. (★)若方程$ x^{2}+px+q= 0 $可化为$(x+\frac{1}{2})^{2}= \frac{3}{4} $的形式,则$ p= $1,$ q= $$-\frac{1}{2}$.

答案： 1，$-\frac{1}{2}$

9. (★★)用配方法解下列方程:
(1) $ x^{2}+4x-3= 0 $;
(2) $ x^{2}+5x-14= 0 $;
(3) $ 2x^{2}-12x= -8 $;
(4) $ x(x-6)+12= 0 $.

答案：
(1)移项得$x^{2}+4x=3$，配方得$x^{2}+4x+4=3+4$，即$(x+2)^{2}=7$，开方得$x+2=\pm\sqrt{7}$，解得$x_{1}=-2+\sqrt{7}$，$x_{2}=-2-\sqrt{7}$。
(2)移项得$x^{2}+5x=14$，配方得$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=14+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$，即$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$，开方得$x+\frac{5}{2}=\pm\frac{9}{2}$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-7$。
(3)两边同除以2得$x^{2}-6x=-4$，配方得$x^{2}-6x+9=-4+9$，即$(x-3)^{2}=5$，开方得$x-3=\pm\sqrt{5}$，解得$x_{1}=3+\sqrt{5}$，$x_{2}=3-\sqrt{5}$。
(4)去括号得$x^{2}-6x+12=0$，移项得$x^{2}-6x=-12$，配方得$x^{2}-6x+9=-12+9$，即$(x-3)^{2}=-3$，因为$-3＜0$，所以方程无实数根。