《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

14. (★★) 如图 24.1 - 17,AB 是⊙O 的直径,弦 CD 交 AB 于点 E,BE = 1,AE = 5,∠AEC = 30°,则 CD 的长是$4\sqrt{2}$.

答案： $4\sqrt{2}$

15. (★★★) “圆”是中国文化的一个重要精神元素,在中式建筑中有着广泛的应用,例如,古典园林中的门洞. 如图 24.1 - 18,某地园林中的一个圆弧形门洞的高为 2.5 m,地面入口宽为 1 m,求该门洞的半径.

答案： 设该圆弧形门洞所在圆的半径为 $ r $ 米。
由题意，地面入口宽为弦长 $ AB = 1 \, m $，门洞高（拱高）$ CD = 2.5 \, m $，其中 $ C $ 为 $ AB $ 中点，$ CD \perp AB $ 且 $ D $ 为圆弧最高点。
根据垂径定理，圆心 $ O $ 在直线 $ CD $ 上。设圆心 $ O $ 到弦 $ AB $ 的距离为 $ d $，则 $ d = r - CD = r - 2.5 $（圆心在 $ CD $ 延长线上，$ d $ 为圆心到 $ AB $ 的距离）。
在 $ Rt\triangle OAC $ 中，$ OA = r $，$ AC = \frac{AB}{2} = 0.5 \, m $，$ OC = d = r - 2.5 $。
由勾股定理：$ OA^2 = OC^2 + AC^2 $，即
$ r^2 = (r - 2.5)^2 + 0.5^2 $。
展开并化简：
$ r^2 = r^2 - 5r + 6.25 + 0.25 $
$ 0 = -5r + 6.5 $
解得 $ r = 1.3 $。
答：该门洞的半径为 $ 1.3 \, m $。

16. (★★) 如图 24.1 - 19,⊙O 的弦 AB = 8,M 是 AB 的中点,且 OM = 3,则⊙O 的半径等于5.

答案： 1. $5$

中考链接
17. (★★) (2023·临江模拟) 如图 24.1 - 20,一条公路的转弯处是一段圆弧$\overset{\frown}{AB}$,点 O 是这段弧所在圆的圆心,AB = 40 m,点 C 是$\overset{\frown}{AB}$的中点,点 D 是 AB 的中点,且 CD = 10 m,则这段弯路所在圆的半径为 【 】


A.25 m
B.24 m
C.30 m
D.60 m

答案： 2. A

18. (★★) (2023·高邮) 综合实践活动要求只用一张矩形纸条和刻度尺测量如图 24.1 - 21①所示的茶碗的碗口直径. 李靓同学所在的学习小组的方法如下：如图 24.1 - 21②,将纸条拉直紧贴杯口上,纸条的上下边沿分别与杯口相交于 A,B,C,D 四点,若该纸条宽为 8 cm,用刻度尺量得 AB = 6 cm,CD = 10 cm,则茶碗碗口的半径为√34.(结果保留根号)

答案： √34