《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

*17. (★★) 如图 $24 - 25$,已知 $\odot O$ 是边长为 $4$ 的等边 $\triangle ABC$ 的内切圆,则 $\odot O$ 的面积为$\frac{4}{3}\pi$。

答案： $\frac{4}{3}\pi$

18. (★★) (2020·威海) 如图 $24 - 26$,$\triangle ABC$ 的外角 $\angle BAM$ 的平分线与它的外接圆相交于点 $E$,连接 $BE$,$CE$,过点 $E$ 作 $EF // BC$,交 $CM$ 于点 $D$。
求证：(1) $BE = CE$；
(2) $EF$ 为 $\odot O$ 的切线。

答案：
(1)
∵四边形ABCE内接于⊙O，延长BA到M，
∴∠MAE=∠EAC（圆内接四边形外角等于内对角）。
∵AE平分∠BAM，
∴∠MAE=∠BAE。
∴∠BAE=∠EAC。
∴弧BE=弧CE（同圆中，相等圆周角所对弧相等）。
∴BE=CE（等弧所对弦相等）。
(2) 连接OE。
∵BE=CE，
∴弧BE=弧CE，即E为弧BC中点。
∴OE⊥BC（平分弧的直径垂直平分弦）。
∵EF//BC，
∴OE⊥EF。
∵OE为⊙O半径，
∴EF为⊙O切线（切线判定定理）。

19. (★★) (2023·济南) 如图 $24 - 27$,$AB$ 为 $\odot O$ 的直径,$C$ 为 $\odot O$ 上一点,$\odot O$ 的切线 $BD$ 交 $OC$ 的延长线于点 $D$。
(1) 求证：$\angle DBC = \angle OCA$；
(2) 若 $\angle BAC = 30^{\circ}$,$AC = 2$,求 $CD$ 的长。

答案：
(2) CD=2√3/3。