《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

26. (★★) 在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = a(x - 1)^2 + 2 $ 经过点 $ B(0, 1) $,且该抛物线的顶点 $ A $ 在直线 $ y = x + m $ 上。
(1) 填空：$ a = $$-1$,$ m = $$1$；
(2) 将抛物线 $ y = a(x - 1)^2 + 2 $ 沿直线 $ y = x + m $ 平移,求平移后所得抛物线与 $ y $ 轴交点的纵坐标的最大值。
$\frac{5}{4}$

答案：
(1) $a=-1$，$m=1$；
(2) 原抛物线为$y=-(x-1)^2+2$，直线为$y=x+1$。设平移后顶点坐标为$(1+t,2+t)$（$t$为平移参数），则平移后抛物线方程为$y=-(x-1-t)^2+2+t$。令$x=0$，得与$y$轴交点纵坐标$y_0=-( -1 - t)^2 + 2 + t = -t^2 - t + 1$。该二次函数开口向下，当$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2×(-1)}=-\frac{1}{2}$时，$y_0$最大值为$-(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) + 1=\frac{5}{4}$。
(1) $-1$，$1$；
(2) $\frac{5}{4}$

27. (★★★) (2023·驻马店模拟) 如图 22 - 10①,桥拱截面 $ OBA $ 可视为抛物线的一部分,在某一时刻,桥拱内的水面宽 $ OA = 8 $ m,桥拱顶点 $ B $ 到水面的距离是 4 m。
(1) 按图 22 - 10②所示建立平面直角坐标系,求桥拱部分所在抛物线的函数表达式；
(2) 一只宽为 1.2 m 的打捞船径直向桥驶来,当船驶到桥拱下方且距 $ O $ 点 0.4 m 时,桥下水位刚好在 $ OA $ 处,有一名身高 1.68 m 的工人直立在打捞船正中间清理垃圾,他的头顶是否会触碰到桥拱？请说明理由.(假设船底与水面齐平)

答案：
(1) 抛物线的顶点为 $B(4, 4)$（因为 $OA = 8$，对称轴为 $x = 4$），设抛物线的函数表达式为：
$y = a(x - 4)^2 + 4$，
由于抛物线过点 $O(0, 0)$，代入得：
$0 = a(0 - 4)^2 + 4$，
$0 = 16a + 4$，
解得：
$a = -\frac{1}{4}$，
因此，桥拱部分抛物线的函数表达式为：
$y = -\frac{1}{4}(x - 4)^2 + 4$，
化简得：
$y = -\frac{1}{4}x^2 + 2x$。
(2) 船距 $O$ 点 $0.4$ m，船宽 $1.2$ m，工人直立在船正中间，则工人头顶的横坐标为：
$x = 0.4 + \frac{1.2}{2} = 1$，
将 $x = 1$ 代入抛物线方程：
$y = -\frac{1}{4}(1 - 4)^2 + 4 = -\frac{1}{4} × 9 + 4 = -\frac{9}{4} + 4 = \frac{7}{4} = 1.75$，
工人身高为 $1.68$ m，因为 $1.68 ＜ 1.75$，所以工人的头顶不会触碰到桥拱。

28. (★★★) (2023·河南) 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者,还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析,下面是他对击球线路的分析。
如图 22 - 11,在平面直角坐标系中,点 $ A $,$ C $ 在 $ x $ 轴上,球网 $ AB $ 与 $ y $ 轴的水平距离 $ OA = 3 $ m,$ CA = 2 $ m,击球点 $ P $ 在 $ y $ 轴上。若选择扣球,羽毛球的飞行高度 $ y $ (m) 与水平距离 $ x $ (m) 近似满足一次函数关系式 $ y = -0.4x + 2.8 $；若选择吊球,羽毛球的飞行高度 $ y $ (m) 与水平距离 $ x $ (m) 近似满足二次函数关系式 $ y = a(x - 1)^2 + 3.2 $。
(1) 求点 $ P $ 的坐标和 $ a $ 的值。
(2) 小林分析发现,上面两种击球方式均能使球过网。要使球的落地点到 $ C $ 点的距离更近,请通过计算判断应选择哪种击球方式。

答案：
(1) $ P(0, 2.8) $，$ a = -0.4 $；
(2) 选择吊球方式。