《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

10. (★★★)(2023·郑州模拟)心理学研究表明,学生上课对概念的接受能力$y与讲授概念的时间x$(分)之间的关系是二次函数,如图22.3 - 8是$y与x$之间的函数图象,点$A$是该抛物线的顶点,且$OC = 43$.
(1)求$y与x$之间的函数关系式.
(2)研究表明,当学生的接受能力在55及以上时,视为学生接受能力的黄金期.
①在学生接受能力的黄金期讲授重点内容,学习效果会更好.请问:张老师在哪个时间段内讲授重点内容合适?
②若讲授某个概念的重点内容需要用时12分钟,请你判断其能否在学生接受能力的黄金期内讲完,并说明理由.

答案：
(1) 设二次函数解析式为$y=a(x-13)^2+59.9$（顶点式）。
∵抛物线过点$C(0,43)$，代入得：
$43=a(0-13)^2+59.9$，解得$a=-0.1$。
∴$y=-0.1(x-13)^2+59.9$（或展开为$y=-0.1x^2+2.6x+43$）。
(2)① 令$y\geq55$，则：
$-0.1(x-13)^2+59.9\geq55$
$-0.1(x-13)^2\geq-4.9$
$(x-13)^2\leq49$
$|x-13|\leq7$
解得$6\leq x\leq20$。
答：6分钟到20分钟。
② 黄金期时长为$20-6=14$分钟。
∵$14\geq12$，
∴能在黄金期内讲完。
答：能。

1. ($★$)二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的顶点坐标是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$,对称轴是直线$x =-\frac{b}{2a}$。

答案： $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$；$x =-\frac{b}{2a}$

2. ($★$)某涵洞是抛物线形,它的截面如图22.3 - 9,现测得水面宽$AB = 1.6m$,涵洞顶点$O到水面的距离为2.4m$,在图中直角坐标系内,涵洞所在抛物线的函数表达式是$y=-\dfrac{15}{4}x^{2}$。

答案： $y=-\dfrac{15}{4}x^{2}$

3. ($★$)如图22.3 - 10,小明的父亲在相距$2m$的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千。拴绳子的地方距地面高都是$2.5m$,绳子自然下垂呈抛物线状,身高$1m$的小明距较近的那棵树$0.5m$时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为0.5m。

答案： 0.5

4. ($★★$)如图22.3 - 11,人工喷泉有一个竖直的喷水枪$AB$,喷水口$A距地面2m$,喷出水流的运动路线是抛物线,如果水流的最高点$P到喷水枪AB所在直线的距离为1m$,且到地面的距离为$3.6m$,求水流的落地点$C到水枪底部B$的距离。

答案： $ 2.5m $