《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

13. (★★)如图 24.1-43,$A,B,C为\odot O$上的三点,$\angle AOB = \frac{1}{3}\angle BOC$,$\angle ACB = 12^{\circ}$,则$\angle AOC$的度数为______96°.

答案： $96^{\circ}$（题目是填空题，按照要求这里应填具体数值答案，若按给定格式理解，可视为非选择形式直接给数值）

14. (★★)如图 24.1-44,量角器的直径与直角三角板$ABC的斜边AB$重合,其中量角器$0刻度线的端点N与点A$重合,射线$CP从CA处出发绕点C沿顺时针方向以每秒2$度的速度旋转,$CP与量角器的半圆弧交于点E$,第$35$秒时,点$E$在量角器上对应的读数是140度.

答案： 140

15. (★★)如图 24.1-45,等腰三角形$ABC的三个顶点在\odot O$上,已知$AB = AC$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,$BD是\odot O$的直径,如果$CD = \frac{4\sqrt{3}}{3}$,则$AD$的长度为4.

答案： 4

16.如图，AB是$\odot O$的直径，C、D是$\odot O$上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC、OC相交于点E、F，有以下结论：①$OC// BD$；②$AD\perp OC$；③$\triangle CEF\cong\triangle BED$；④$AF = FD$. 其中不一定成立的是①③(填序号).

答案： ①③

17. (★★★)如图 24.1-47,已知$\odot O的直径为10$,点$A,B,C在\odot O$上,$\angle CAB的平分线交\odot O于点D$. 若$\angle CAB = 60^{\circ}$,求$BD$的长.

答案： 5

18. (★★)如图 24.1-48,$\odot C$过原点,且与两坐标轴分别交于点$A,B$,点$A的坐标为(0,4)$,$M是第三象限内\overset{\LARGE{\frown}}{OB}$上一点,$\angle BMO = 120^{\circ}$.
(1)求证：$AB为\odot C$的直径；
(2)求$\odot C$的半径.

答案：
(1) 证明：
∵点A，B，O在⊙C上，且∠AOB=90°（x轴与y轴垂直），
∴∠AOB是⊙C的圆周角，且∠AOB=90°，
∴AB为⊙C的直径（直径所对的圆周角是直角）。
(2) 解：
∵AB为直径，设⊙C半径为r，则AB=2r。
∵A(0,4)，
∴OA=4。
∵M在⊙C上，∠BMO=120°，四边形ABMO内接于⊙C，
∴∠BMO+∠BAO=180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠BAO=180°-120°=60°。
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠BAO=60°，
∴cos∠BAO=OA/AB，即cos60°=4/(2r)，
∵cos60°=1/2，
∴1/2=4/(2r)，解得r=4。
(1) 得证；
(2) ⊙C的半径为4。