《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

5. (★★)学校体育组准备在操场上规划出一块长方形区域开展跳绳比赛,比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路,图 21.3 - 2 是比赛区域的规划图,现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍(场地间空隙忽略不计),预留道路的宽度为 4 米,比赛区域的总面积为 144 平方米。请你根据以上信息,求比赛区域的长和宽分别是多少米。

答案： 比赛区域的长为16米，宽为9米。

6. (★★)如图 21.3 - 3,邻边不等的矩形花圃 $ABCD$,它的一边 $AD$ 利用已有的围墙(围墙足够长),另外三边所围的栅栏的总长度是 6 m。若矩形的面积为 4 m^2,则 $AB$ 的长度是1m。

答案： 1

7. (★★)如图 21.3 - 4,用一条长 40 m 的绳子围成矩形 $ABCD$,设边 $AB$ 的长为 $x$ m。
(1)边 $BC$ 的长为20 - x m,矩形 $ABCD$ 的面积为-x² + 20x m²；(均用含 $x$ 的代数式表示)
(2)矩形 $ABCD$ 的面积是否可以是 120 m²？请给出你的结论,并用所学的知识说明理由。
不能。

答案：
(1) 20 - x；-x² + 20x；
(2) 不能。

8. (★★★)如图 21.3 - 5,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 5$ cm,$BC = 7$ cm。点 $P$ 从点 $A$ 开始沿 $AB$ 边向点 $B$ 以 1 cm/s 的速度移动,点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿 $BC$ 边向点 $C$ 以 2 cm/s 的速度移动。当 $P$,$Q$ 两点中有一点到达终点时,则同时停止运动。
(1)如果 $P$,$Q$ 分别从 $A$,$B$ 同时出发,那么出发后几秒时,$\triangle PBQ$ 的面积等于 4 cm^2？
(2)如果 $P$,$Q$ 分别从 $A$,$B$ 同时出发,那么出发后几秒时,$PQ$ 的长度等于 5 cm？
(3)在 (1) 中,$\triangle PBQ$ 的面积能否等于 7 cm^2？请说明理由。

答案：
(1) 设出发后 $t$ 秒时，$\triangle PBQ$ 的面积等于 $4 cm^2$。
此时，$AP = t cm$，$BQ = 2t cm$，$BP = (5 - t) cm$。
由直角三角形的面积公式，有：
$\frac{1}{2} × (5 - t) × 2t = 4$，
化简得：
$t^2 - 5t + 4 = 0$，
解得：
$t_1 = 1, \quad t_2 = 4$（由于 $t_2 = 4$ 时，$BQ = 8 ＞ 7$，故舍去），
所以出发后 $1$ 秒时，$\triangle PBQ$ 的面积等于 $4 cm^2$。
(2) 设出发后 $t$ 秒时，$PQ$ 的长度等于 $5 cm$。
此时，$BP = (5 - t) cm$，$BQ = 2t cm$。
由勾股定理，有：
$PQ^2 = BP^2 + BQ^2$，
即：
$25 = (5 - t)^2 + (2t)^2$，
化简得：
$5t^2 - 10t = 0$，
解得：
$t_1 = 0$（舍去，因为此时$PQ$不是运动的线段），$t_2 = 2$，
所以出发后 $2$ 秒时，$PQ$ 的长度等于 $5 cm$。
(3) 在
(1) 的情境中，$\triangle PBQ$ 的面积不能等于 $7 cm^2$。
理由如下：
设出发后 $t$ 秒时，$\triangle PBQ$ 的面积为 $7 cm^2$。
此时，由直角三角形的面积公式，有：
$\frac{1}{2} × (5 - t) × 2t = 7$，
化简得：
$t^2 - 5t + 7 = 0$，
计算判别式 $\Delta = (-5)^2 - 4 × 1 × 7 = 25 - 28 = -3 ＜ 0$，
因为判别式小于0，所以方程无实数解。
因此，在
(1) 的情境中，$\triangle PBQ$ 的面积不能等于 $7 cm^2$。